Up 2.6.1 変形としての加算  

　二進数の加算式は，一つの文生成システムGの生成するものと見なせた(§1.6.3)。即ち，

(I) G＝(NＶ,TＶ,Ｐ,Ｓ）において，
  1. NＶ：

    Ｓ：開始記号（可算式生成に関する）
    Ｎ：二進数生成に関する
    STR：数記号列(空列を含む)生成に関する

  2. TＶ＝｛1，0，＋｝

  3. Ｐ：
Ｓ→Ｓ＋Ｎ
Ｓ→Ｎ
Ｎ→0
Ｎ→1STR
STR→STR0
STR→STR1
STR→ε


　さらに，加算を，Gの上の変形と見なすことができる。即ち，加算を伴う二進数加算式の系が，G上の文変形システム（H,S,D）によって実現できる。

(II) Gの拡張でかつGと同値な文生成システムHを，つぎのように定義する：
  1. NＶに，
    Ｕ：長さ１の数記号列生成に関する
    を追加する。

  2. Ｐに，
    Ｕ→ 0
    Ｕ→ 1
    を追加する。

(III) Hの上のシェマシステムS＝(H,σ,R) を，つぎのように定義する：
  1. H＝(NＶ,TＶ,Ｐ,Ｓ) は，

    1. NＶ＝｛Ｓ, Ｎ, STR, Ｕ｝

    2. TＶ＝｛1,0,＋,ｍ,ｎ,ｓ,ｔ｝

    3. Ｐ：
      Ｓ→Ｓ＋Ｎ
      Ｓ→Ｎ
      Ｎ→0
      Ｎ→1STR
      STR→STR0
      STR→STR1
      STR→ε
      Ｕ→0
      Ｕ→1
      STR→ｓ
      STR→ｔ
      Ｕ→ｍ
      Ｕ→ｎ

  2. シェマ関数σは，
    Ｓ→Ｓ
    Ｎ→Ｎ
    STR→STR
    Ｕ→Ｕ

  3. 代入規則は，原初的代入規則。


(IV) D＝(ＶD,Ｄ) は，つぎのように定義する：
  1. ＶD＝｛＄,＃,1｝

  2. Ｄ(註1)：
    (a1)/s＋t/→/＄s＋t＄/
    (a2)/s＋t＋→/＄s＋t＄＋
    (b1)＄sm＋tn＄→＄s＋t＃m＋n＃＄
    (b2)＄sm＋tn＃→＄s＋t＃m＋n＃
    (c1)＃0＋n＃→＃n
    (c2)＃1＋0＃→＃1
    (c3)＃1＋1＃→1＃0
    (d1)＋1→＋1
    (d2)01→1
    (d3)11→10
    (e1)＄s＋＃→＄s
    (e2)＄＋s＃→＄s
    (e3)＄＋＃→＄
    (f)＄s＄→s

　ここで，“/”は，式の端を示すメタ記号である（変形補助記号ではない)。

　なお，計算が実際に所期の結果に到達できるためには，この変形規則が与えられているだけでは，十分でない──規則適用順まで一意的に決める必要がある(註2)。


（註１） [水谷静夫，“言語と数学”，森北出版，1970，pp.67-72] から記号を変えて，引用。
‘＄',‘＃',‘1’の意味は，つぎのようになる：
    (1) ‘＄’で，一単位の加算を画定する；
    (2) ‘＃’で，一単位の加算から同じ桁の数同士の＋を分離する；
    (3) ‘1’で，位上がりがあることを指示する．
そこで，
    (a1),(a2) は，一単位の加算を画定する規則；
    (b1),(b2) は，着目する桁の分離の規則；
    (c1)-(c3) は，加算“九九”の表の規則；
    (d1)-(d3) は，位上がりの規則；
    (e1)-(e3) は，一単位の加算の終了条件の規則
    (f) は，計算結果の収束の規則
である。

（註２） [ibid.,pp.70,71]。