加法の論理体系T＝（Ａ,Ｆ,A,Ｐ）が，以下のようにして定義される(註)。
- Ａ＝｛1,＋,＝｝
- Ｆは，つぎのようにして定義される式の全体である：
1° １は項である；
2° 項Ｕに対し，Ｕ１は項である；
3° 項Ｕ,Ｖに対し，Ｕ＋Ｖは項である；
4° 項Ｕ,Ｖに対し，Ｕ＝Ｖは式である；
5°1°から4°を有限回適用して導かれる式のみが，式である。
- A：
(a1) １＝１
(a2) Ｕ1＝Ｕ＋1
(a3) Ｕ1＋Ｖ＝Ｕ＋Ｖ1
ここで，Ｕは項。
- Ｐ：
(i1) Ｕ＝Ｖ → Ｕ1＝Ｖ1
(i2) Ｕ＝Ｖ → Ｖ＝Ｕ
(i3) Ｕ＝Ｖ,Ｖ＝Ｗ → Ｕ＝Ｗ
ここで，Ｕ,Ｖ,Ｗは項。
(2),(3),(4) に現われている記号Ｕ,Ｖ,Ｗは，メタ記号で，“変数”として使用されている。即ち，Ｆ，A，Ｐは，シェマで表現されている。
特に，Ｆ，A，Ｐは無限集合である。但しそれは，帰納的という性格をもつ。即ち，
“この集合の要素である”
ことが，
“有限個の記号に対する実効的処理という形で生成できる”
ことに表現可能である。実際，§3.5.1.1 は，後者の仕方で加法理論を記述したものである。そして，この方法をとることで，無限集合を登場させずに理論を記述することができたのである。
（註） §3.5.1 参照。
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