つぎは，定理シェマである：
| (T10) | (∀tvr)nf[tvr]  nf[tvr]
(∃tvr)nf[tvr] nf[tvr]
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証明は，ｘを変項，φをｘが自由変項でない文として(‘ｘ',‘φ'はメタ記号)，つぎのようになされる：
| (tvr,x)
| | (sen,φ)
| | (∀x)φ | ←─── | (∀tvr)sen
| | (trm,x) | ↓(Q1)
| | φ | ←─── | sen[tvr↓trm]
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演繹定理より，(∀ｘ)φ⊃φは定理。一方，
| φ | ←─ | nf[tvr]
| | | ↓(Q3)
| | (∀x)φ | ←─ | (∀tvr)nf[tvr]
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よって，φ⊃(∀ｘ)φは定理。そして，
| (∀ｘ)φ⊃φ | ←─ | sen
| | & | | &
| | φ⊃(∀ｘ)φ | | sen1
| | | ↓(T3)
| | ((∀ｘ)φ⊃φ)∧(φ⊃(∀ｘ)φ) | ←─ | sen∧sen1
| | ‖
| | ((∀ｘ)φ⊃φ)∧(φ⊃(∀ｘ)φ) | ←─ | (sen⊃sen1)∧(sen1⊃sen)
| | | ↓(C5)
| | (∀ｘ)φφ | ←─ | sensen1
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第二のシェマは，第一のシェマを用いてつぎのように証明される：
| (∀ｘ)φφ | ←─ | sensen1
| | | ↓(C0)
| | ¬¬(∀ｘ)φφ | ←─ | ¬¬sensen1
| | ‖
| | ¬¬(∀ｘ)φφ | ←─ | ¬¬(∀tvr)sensen
| | | ↓(C0)
| | ¬¬(∀ｘ)¬¬φ¬¬φ | ←─ | ¬¬(∀tvr)¬¬sen¬¬sen
| | ‖
| | ¬¬(∀ｘ)¬¬φ¬¬φ | ←─ | ¬¬(∀tvr)¬sen¬sen
| | | ↓(C6)
| | ¬(∃ｘ)(¬φ)¬(¬φ) | ←─ | ¬(∃tvr)sen¬sen
| | ‖
| | ¬(∃ｘ)ψ¬ψ | ←─ | ¬sen¬sen1
| | | ↓(C6)
| | (∃ｘ)ψψ | ←─ | sensen1
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