Up 原始関数 作成: 2010-10-27
更新: 2010-10-27

    関数ｆ: D → (D ⊂ ) に対し，これがある関数Ｆ: D → とつぎのように関係していると見る：
      各ｘ∈Ｄ に対し，ｆ(ｘ) はＦのｘにおける変化率。
      （すなわち，ｆはＦの導関数。）

    ここで，区間 [a, b] ⊂ D を考える。
    区間 [a, b] の区分
      a ＝ ｘ1 ＜ ｘ0 ＜ ‥‥ ＜ ｘn−1 ＜ ｘn ＝ b
      Δxk ＝ ｘk＋1 − ｘk (ｋ＝ 1, ‥‥, n−1)
    を限りなく細かくしていったときの
      lim
      n→∞      		 n
      ∑
      k=1      		 f(ｘk) ·Δｘk
    は，区間 [a, b] でのＦの増し分になる。

    そこで，Ｆ(a) ＝Ｃとおくとき，つぎのようになる：
      F(b) ＝ Ｃ ＋ lim
      n→∞      		 n
      ∑
      k=1      		 f(ｘk) ·Δｘk
    さらに，区間 [a, b] のｂを変数ｘとして考えれば，つぎのようになる：
      F(ｘ) ＝ Ｃ ＋ lim
      n→∞      		 n
      ∑
      k=1      		 f(ｘk) ·Δｘk
      （a ＝ ｘ1 ＜ ｘ0 ＜ ‥‥ ＜ ｘn−1 ＜ ｘn ＝ ｘ)


    以上の内容は，つぎのように捉え直すことができる：
    ｆを導関数とする関数が存在する。
    実際，それは，任意の定数Ｃとａ∈Ｄに対し定義されるつぎの関数である：
      ｘ├─→　Ｃ ＋ lim
      n→∞      		 n
      ∑
      k=1      		 f(ｘk) ·Δｘk　(x ∈ D)
      （ここで，a ＝ ｘ1 ＜ ｘ0 ＜ ‥‥ ＜ ｘn−1 ＜ ｘn ＝ ｘ)

    ｆを導関数とする関数の存在することがわかったところで，このような関数を「ｆの原始関数」と呼ぶ。
    「ｆの原始関数」は，ただ一つの関数ではない。Cに依存して，無限にある。