Up (eｘ)′ ＝ eｘ，(aｘ)′ ＝ (logeａ) aｘ 作成: 2011-04-16
更新: 2017-10-26

    指数関数ｆ──条件「f(ｘ + ｙ) ＝ f(ｘ) × f(ｙ)」を満たす関数ｆ──において，つぎが成り立つ：
        f′(ｘ) ＝ f′(０) f(ｘ)
      実際，任意のｘで f(ｘ) ＝ f(ｘ + 0) ＝ f(ｘ) × f(0) より，f(0) ＝ 1
      これより
      f(ｘ＋ｈ) − f(ｘ) ＝ f(ｘ) × f(ｈ) − f(ｘ)
      　　＝ ( f(ｈ) − １) × f(ｘ) ＝ ( f(ｈ) − f(0) ) × f(ｘ)
      よって
      f′(ｘ) ＝ lim
      h → 0      		 ( f(ｘ＋ｈ) − f(ｘ) ) / h
      　　　＝ ( lim
      h → 0      		 ( f(ｈ) − f(0) ) / h ) × f(ｘ) ＝ f′(０) × f(ｘ)

    f が exp : ｘ├─→ ｅｘ の場合
      ｅの定義から，f′(０) ＝ １。
      よって，f′(ｘ) ＝ f′(０) f(ｘ) ＝ f(ｘ)。
      即ち，(eｘ)′ ＝ eｘ.

    ｆが関数 : ｘ├─→ ａｘ の場合
      ｐ＝ logeａ とおく。
      ａｘ ＝ (ｅｐ)ｘ ＝ ｅｐｘ より，
      ( f(ｈ) − f(0) ) / h ＝ (ｅｐｈ − 1 ) / h ＝ ｐ × ( (ｅｐｈ − ｅ0 ) / (ｐh) )
      よって，f′(0) ＝ ｐ ＝ logeａ
      f′(ｘ) ＝ f′(0) f(ｘ) より，(aｘ)′ ＝ (loge a) aｘ