Up 「＜桁数＞の拡張」: ｆ(ｘ + ｙ) ＝ f(ｘ) × f(ｙ) 作成: 2011-04-16
更新: 2017-10-26

    関数ｆ：ｘ├─→ 10ｘ (ｘ∈ ) は，つぎの条件を満たす：
        f(ｘ + ｙ) ＝ f(ｘ) × f(ｙ)
    実際，わたしたちは「桁数計算」でこれを常用しているわけである。

    ここで，この条件を逆用して「桁数」の拡張を考えることにする。
    すなわち，この条件を満たす関数 (ただし，恒等的に０でないもの) ｆ: → を，「10ｘ」の形に倣って，「aｘ」と書く：
        ｆ: ｘ├─→ ａｘ
    ここで a は ｆ(1) である：
        ｆ(1) ＝ ａ1 ＝ ａ

    関数ｆ: ｘ├─→ ａｘ を，「指数関数」と呼ぶ。
    「指数」は,「桁数」を拡張した概念である。


    「ｆ(ｘ + ｙ) ＝ f(ｘ) × f(ｙ) で特徴づけられる関数」の言い方をするとき，＋，× の組み合わせにより，つぎの４通りの「ｆ(ｘ ○ｙ) ＝ f(ｘ) □ f(ｙ) で特徴づけられる関数」が考えられてくる：
    1. 「ｆ(ｘ + ｙ) ＝ f(ｘ) + f(ｙ) で特徴づけられる関数」
    2. 「ｆ(ｘ + ｙ) ＝ f(ｘ) × f(ｙ) で特徴づけられる関数」
    3. 「ｆ(ｘ × ｙ) ＝ f(ｘ) + f(ｙ) で特徴づけられる関数」
    4. 「ｆ(ｘ × ｙ) ＝ f(ｘ) × f(ｙ) で特徴づけられる関数」

    Ａは，線形関数である。
    Ｂは，指数関数である。
    Ｃは，対数関数である：ｘ├─→ logaｘ
        実際，loga(ｘ × ｙ) ＝ logaｘ + logaｙ
    Ｄは，冪乗関数である：ｘ├─→ ｘａ
        実際，(ｘ × ｙ)a ＝ ｘa × ｙa