Up eix ＝ cos x ＋ i sin x 作成: 2017-10-26
更新: 2017-10-28

    指数関数 f(ｘ) ＝ ｅｘ は，つぎの条件で定義されていることになる：
      1゜f(ｘ1 + ｘ2) ＝ f(ｘ1) × f(ｘ2)
      2゜f′(0) ＝ 1
    f(1) をｅ と表記し，f(ｘ) を ｅｘ と表記する，というわけである。


    条件1゜の「f(ｘ1 + ｘ2) ＝ f(ｘ1) × f(ｘ2)」を形式とするものに，「平面上の回転」があった。
    即ち，複素数を用いたつぎの関数である：
      ｆ：ｘ├─→ cosｘ ＋ i sinｘ　(ｘ∈ )

    では，関数ｆ: ｘ├─→ cosｘ ＋ i sinｘ の場合，条件 2゜( f′(0) ＝ 1 ) の方はどんなふうになるか？


    ｆの微分を試してみる：
      ｆ'(ｘ) ＝ (cosｘ ＋ i sinｘ)' ＝ (cosｘ)' ＋ i (sinｘ)'
      　　　＝ (ーsinｘ) ＋ i cosｘ
      　　　 ( ＝ cos(ｘ＋π/2) ＋ i cos(ｘ＋π/2) ＝ (ｆ(π/2))1ｆ(ｘ) ＝ i 1 ｆ(ｘ) )
      ｆ''(ｘ) ＝ (ｆ'(ｘ))' ＝ ((ーsinｘ) ＋ i cosｘ)'
      　　　＝ (ーcosｘ) ＋ i (ーsinｘ)
      　　　 ( ＝ cos(ｘ＋π) ＋ i cos(ｘ＋π) ＝ (ｆ(π/2))2ｆ(ｘ) ＝ i 2 ｆ(ｘ) )
      ｆ'''(ｘ) ＝ (ｆ''(ｘ))' ＝ ((ーcosｘ) ＋ i (ーsinｘ))'
      　　　＝ sinｘ ＋ i (ーcosｘ)
      　　　 ( ＝ cos(ｘ＋3π/2) ＋ i sin(ｘ＋3π/2) ＝ (ｆ(π/2))3ｆ(ｘ) ＝ i 3 ｆ(ｘ) )
      ｆ''''(ｘ) ＝ (ｆ'''(ｘ))' ＝ ((ーsinｘ) ＋ i (ーcosｘ))'
      　　　＝ cosｘ ＋ i sinｘ
      　　　 ( ＝ cos(ｘ＋2π) ＋ i cos(ｘ＋2π) ＝ (ｆ(π/2))4ｆ(ｘ) ＝ i 4 ｆ(ｘ) )
    特に，
      ｆ'(0) ＝ i 1 ＝ i
      ｆ''(0) ＝ i 2 ＝ ー1
      ｆ'''(0) ＝ i 3 ＝ ー i
      ｆ''''(0) ＝ i 4 ＝ 1


    条件2゜( f′(0) ＝ 1 ) とは違った。
    しかしこれは，条件２゜の拡張と見ることができる。

    そこで逆に，「ｅｘ の方を，この条件を満たすものに拡張する」ということを考える。
    それは，形(・)式(・)的(・)に(・)「ｅiｘ」を考えることで，実現される：
      ｆ：ｘ├─→ ｅiｘ において，
      ｆ'(ｘ) ＝ (ｅiｘ)' ＝ i ｅiｘ
      　　　 ( ＝ i 1 ｆ(ｘ) )
      ｆ''(ｘ) ＝ (ｆ'(ｘ))' ＝ (i ｅiｘ)' ＝ ーｅiｘ
      　　　 ( ＝ i 2 ｆ(ｘ) )
      ｆ'''(ｘ) ＝ (ｆ''(ｘ))' ＝ (ーｅiｘ)' ＝ ーiｅiｘ
      　　　 ( ＝ i 3 ｆ(ｘ) )
      ｆ''''(ｘ) ＝ (ｆ'''(ｘ))' ＝ (ーiｅiｘ)' ＝ ｅiｘ
      　　　 ( ＝ i 4 ｆ(ｘ) )
    特に，
      ｆ'(0) ＝ i 1 ＝ i
      ｆ''(0) ＝ i 2 ＝ ー1
      ｆ'''(0) ＝ i 3 ＝ ー i
      ｆ''''(0) ＝ i 4 ＝ 1

    こうして，「cosｘ ＋ i sinｘ」と「ｅiｘ」が，形式において全く同じものになった。
    そこで改めて，「eiｘ」を, 「cos x ＋ i sin ｘ」の別(・)表(・)記(・)と(・)し(・)て(・)導入する：
        eiｘ ＝ cos x ＋ i sinｘ


    強調するが, 「eiｘ」は「cos x ＋ i sinｘ」の別表記として導入されるものである。
    「ｅを虚数乗するってどういうこと？」みたいに考えるものではない。
    「eiｘ ＝ cos x ＋ i sinｘ」は，定理ではなく，定義である。

      「eiｘ ＝ cos x ＋ i sinｘ」を定理と定め，「(eiｘ のマクローリン展開) ＝ (cos x のマクローリン展開) ＋ i (sin x のマクローリン展開)」を証明として載せているテクストに出会うことがある。 これは間違いである。
      「形(・)式(・)的(・)に(・)マクローリン展開する」と「定理の証明としてマクローリン展開する」は，見掛けは同じでも，意味が違う。