みな，つぎのように計算する： 
（「桁数ｍの数と桁数ｎの数の積は，桁数 ｍ＋ｎの数」）
学生は計算尺を買わされ，授業でこれの操作が教えられた。 この計算尺は，「かけ算を，桁数の足し算に替える」を道具にしたものである。 ここで注意だが，日常語のいう「桁数」だと，1000, 100000 はそれぞれ４桁と６桁になるが，数学だと 10‥‥0 の桁数は０の個数のことにして，1000, 100000 はそれぞれ３桁と５桁になる。 さて，「かけ算を，桁数の足し算に替える」は，どのくらいありがたいことか？ 例えば，２の10乗の大きさなんかは，サッとわかってしまう。 後述するが，「桁数ｍの数と桁数ｎの数の積は，桁数 ｍ＋ｎの数」が成り立つように２の桁数を求めると，それはおよそ 0.3 である。 そこで，２の10乗は，桁数 0.3 の数の 10 回の積。 「桁数ｍの数と桁数ｎの数の積は，桁数 ｍ＋ｎの数」より，これの桁数は 0.3 × 10，すなわち 3 である。 こうして，２の10乗は，１の後に０を3個並べた数，つまり 1000 である。 実際に ２の10乗を計算すると 1024 になり，まあまあよい近似値である。 「２の10乗を実際に計算するくらいどうってことない」と思う向きは，２の100乗を考えてみたらよい。 というわけで，ここでは１から９までの桁数を求めてみる。 そして最後に，これの応用問題をやってみることにする。 なお，９までの数の桁数を求める以下の話は，わたしが大昔に読んだ森毅のテクストから拝借するものである。 (そのテクストが何だったかは，覚えていない。 『数学セミナー』? ） 以下，桁数を求めるときに用いる規則は，「ｍとｎの積の桁数は，ｍの桁数とｎの桁数の和」である。 １から９までの数の桁数を求める話は，これでおしまい。 ところで，ここで「数ｎの桁数」と言っているのは，厳密には「十進数に対する数ｎの桁数」である。 この言い回しは長い。 そこで，数学の短い記号表現となる。 それが，「log10ｎ」である。 「２進数に対する数ｎの桁数」だと，「log2ｎ」である。 「ｍとｎの積の桁数は，ｍの桁数とｎの桁数の和」は，つぎの表現になる：
高校で「log」を教えられているが，意味を教えられていないわけである。 （  「指数関数」)
もっとも，数学の授業はだいたいがこうで，「log」に限ったことではない。 応用問題 1 十進数の二進数表示は，数字の列がひどく長くなる感じがする。 どのくらい長くなるのかを，一般的に述べられないか？
これは，２のｎ乗である。 そして，２のｎ乗の桁数は，２の桁数のｎ倍，すなわち 0.3 × ｎ。 十進数表示の数字列の長さは，二進数表示の数字列の長さの約 0.3 倍である。 応用問題 2 0.1 mm の紙を半分に折る。 これで厚さが２倍になる。 さらに半分に折る。──これを繰り返す。 さて，何回折ったら，月まで届く厚さになるか？ ここで，月までの距離は 38万5千km。
38万5千km が 0.1 mm の何倍かを求める：
＝ (3.85 × 1011) ｍm そこで，つぎの不等式になる：
ここで，「桁数」の出番となる。 上の不等式を，桁数の不等式に替える：
3.85 × 1012 を 38.5 × 1011 に替え，38 を，桁数が計算できる 36 と 40 ではさむ：
このとき：
36 × 1011 の桁数 ＝ (4 × 9)の桁数 ＋ 11 ＝ (0.6 ＋ 0.95 ) ＋ 11 ＝ 12.55 = 0.3 × 41.8 40 × 1011 の桁数 ＝ (4 × 10)の桁数 ＋ 11 ＝ (0.6 ＋ 1 ) ＋ 11 ＝ 12.6 ＝ 0.3 × 42 ２ｎ+１ の桁数 ＝ 0.3 × (n＋1) よって，つぎのようになる：
38.5 × 1011 の桁数 ＜ 40 × 1011 の桁数 ＝ ２42 の桁数 したがって，「41回ではまだ月に到達しないが，42回では月を超える」が答になる。 |