3.3.1 順序位相



　順序構造を伴う数の系 (Ｎ,＋,×,≦) に対しては，それの標準的な位相として，≦に関する順序位相を考える。即ち，Ｎの各要素ξに対し，ξの近傍系の基をξを含む開区間(註1)全体UO(ξ)(註2)と定める(註3)。

　ξ∈Ｎとρ∈Ｎ+∩Ｎ*に対し，開区間Ｕ(ξ,ρ）をつぎのように定める：
  1. ξ−ρが定義されるときは，開区間 〕ξ−ρ,ξ＋ρ〔


  2. そうでないときは，開区間 〕←,ξ＋ρ〔


Ｕ(ξ,ρ) はUO(ξ) に属する──これをξのρ-近傍と呼ぶ。ρがＮ全体にわたるときのＵ(ξ,ρ) は順序位相に関しξの基本近傍系を成す(註4)。

　また，(Ｎ,＋) が群であれば，ＮからＮへの写像：
ξ −ξ

は連続(註5)。特に，(Ｎ,＋,≦) は順序位相群。


（註１） 開区間の表現を，ここではつぎのようにする：
  1. ξ＜ηに対し
    〕ξ,η〔 ＝｛θ｜ξ＜θ＜η｝

  2. 〕ξ,→〔 ＝｛θ｜ξ＜θ｝

  3. 〕←,ξ〔 ＝｛θ｜θ＜ξ｝
（註２） UO(ξ) の導入を〈存在〉の導入のように考える必要はない。UO(ξ) の導入は記号“UO(ξ)”の導入であり，そしてこの記号は,《“Ｖ∈UO(ξ)”は“Ｖはξが属する開区間”の言い換えである》として定義されるところのものである。

（註３） 明らかにつぎのことが成り立つ：
  1. Ｖ∈UO(ξ) ξ∈Ｖ．
  2. Ｖ1，Ｖ2∈UO(ξ)に対し，Ｖ⊂Ｖ1，Ｖ⊂Ｖ2であるようなＶ∈UO(ξ)が存在する．
  3. Ｖ∈UO(ξ)は，つぎの条件を満たす或るＷ∈UO(ξ)を含む：《各η∈Ｗに対し，Ｖ1∈UO(η) かつＶ1⊂ＶとなるＶ1が存在する》．
（“⊂”は,“Ｓ⊂Ｔ”を“ξ∈Ｓ ξ∈Ｔ”と読ませるところの記号。）そして，(1),(2),(3) は，UO(ξ) をξの基本開近傍系とするような位相Oを一意的に決めるところの条件である。Oは順序位相と呼ばれる。

（註４） 〕η,ζ〔 ∈UO(ξ) は，ρ＝min｛ξ−η,ζ−ξ｝に対するＵ(ξ,ρ) を含む。 〕η,→〔 は，ρ＝ξ−ηに対するＵ(ξ,ρ) を含む。 〕←,ζ〔 は，ρ＝ζ−ξに対するＵ(ξ,ρ) を含む。

（註５） Ｕ(−ξ,ρ) は，この写像によるＵ(ξ,ρ) の像と一致する。実際，η＜ξ＋ρならば (−η)＋ρ＝ξ＋ρ＋(−ξ)＋(−η)＞η＋(−ξ)＋(−η)＝−ξ。η＋ρ＜ξならば，−η＝ξ＋(−ξ)＋(−η)＞η＋ρ＋(−ξ)＋(−η)＝(−ξ)＋ρ。