3.3.2 算法の連続性
Ｎが自然数，分数（正の有理数），整数，有理数，正の実数，実数の集合である場合の数の系 (Ｎ,＋,×) は，順序構造を伴う数の系であり，かつ順序位相に関して加法と乗法が，Ｎ×ＮからＮへの写像：
（ξ,η) 
ξ＋η
（ξ,η) ξ×η
として，ともに連続(註1)。
Ｎが分数，有理数，正の実数，実数の集合である場合，Ｎ*からＮへの写像：
ξ ξ-1
は連続(註2)。特に，(Ｎ*,×,≦) は順序位相群。
Ｎが有理数，実数の集合である場合，(Ｎ,＋,×,≦) は順序位相体。
（註１） ξ＋η［ξ×η］のρ-近傍に対しては，ξのρ1-近傍とηのρ2-近傍で，条件：
《ξ′がξのρ1-近傍に属し，η′がηのρ2-近傍に属するとき，ξ′＋η′［ξ′＋η′］はξ＋ηのρ-近傍に属する》
を満たすものがとれる。このことは,《加法＋［乗法×］は連続》の意味になる。
（註２） (1) ξ∈Ｎ*+とする。このときξ-1∈Ｎ*+。ε≦ξ-1である任意のε∈Ｎ*+に対し，(ξ-1＋ε)-1＋δ＜ξとなるδ∈Ｎ*+を任意にとる。このとき，写像：η η-1 によるＵ(ξ,δ) の像はＵ(ξ-1,ε) に含まれる。
(2) ξ
Ｎ*+のとき，＋は群算法でξ＜０，よってξ-1＜０。ξ-1＋ε＜０である任意のε∈Ｎ*+に対し，(ξ-1−ε)-1＜ξ＋δとなるδ∈Ｎ*+を任意にとる。このとき，写像：η η-1 によるＵ(ξ,δ) の像はＵ(ξ-1,ε) に含まれる。