4.1.4 数の系としてのNR
NR の要素に対しては，これを“倍”と読んだ上で，和と積(合成)を日常的に考えている。この二つの概念はつぎのように定式化される。
ｘ,ｙ∈NR に対し，
| ｘ＝ |  | ｙ＝ | 
|
となるｒ,ｓ,ｔ∈Ｎがとれる。このとき，対象式ｘ＋ｙを (ｓ＋ｔ)/ｒ と定める。── ｘ,ｙを上のように表現したときの (ｓ＋ｔ)/ｒ∈NR は，ｒ,ｓ,ｔの取り方に依存していない(註1)から，この定義は意味をもつ。
ｘ,ｙ∈NR に対してはまた，
| ｘ＝ | | ｙ＝ | 
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となるｒ,ｓ,ｔ∈Ｎがとれる。このとき，対象式ｘ×ｙを ｔ/ｒ と定める。── ｘ,ｙを上のように表現したときの ｔ/ｒ∈NR は，ｒ,ｓ,ｔの取り方に依存していない(註2)から，この定義は意味をもつ。
そしてこの定義から導かれる内算法＋，×に関して，NR は“数の系”になる。
（註１） ｘ＝ｓ/ｒ＝ｓ′/ｒ′，ｙ＝ｔ/ｒ＝ｔ′/ｒ′のとき，(ｓ＋ｔ)×ｒ′＝(ｓ×ｒ′)＋(ｔ×ｒ′)＝(ｒ×ｓ′)＋(ｒ×ｔ′)＝ｒ×(ｓ′＋ｔ′)，よって，(ｓ＋ｔ)/ｒ＝(ｓ′＋ｔ′)/ｒ′。
（註２） ｘ＝ｓ/ｒ＝ｓ′/ｒ′，ｙ＝ｔ/ｓ＝ｔ′/ｓ′のとき，(ｔ×ｒ′)×ｓ＝ｔ×ｓ′×ｒ＝(ｔ′×ｒ)×ｓ，よって ｔ×ｒ′＝ｔ′×ｒ，即ち ｔ/ｒ＝ｔ′/ｒ′。