4.3.1 (NR)Dと(ND)Rの同型性（＝NRD）
学校数学では，Ｎの要素ｍ,ｎに対する (NR)D の要素±(ｎ/ｍ) と (ND)R の要素 (±ｎ)/(＋ｍ) の同一視を暗黙に導入する。これは本来，“(NR)Dと(ND)Rの同型”という主題になる。
実際，
で定義される写像ｉ:(NR)D ─→(ND)R は，((NR)D,＋,×）の（(ND)R,＋,×）の上への同型になっている(註)。
特に，(NR,＋,×）からの（(NR)D,＋,×）の導出と，(ND,＋,×）からの（(ND)R,＋,×）の導出では，実質的に同じ対象がつくられる。
（註） (1) 先ず，
であるので，写像ｊ:(ND)R ─→(NR)D が
で定義でき，かつこれはｉの逆写像になる。
(2) あとは，
ｊ(ｘ＋ｙ)＝ｊ(ｘ)＋ｊ(ｙ)
ｊ(ｘ×ｙ)＝ｊ(ｘ)×ｊ(ｙ)
が確かめられればよい。
また，
において例えばｓ＋ｐ＝ｔならば，ｓ/ｍ＋ｐ/ｍ＝ｔ/ｍであるから，上式はつぎのように続く：
残りについては，省略する。