5.2.2 〈自然数＝系列〉の実現


　自然数（系列）の定義は，一つの〈形〉の定義であり存在の定立ではない。“自然数”は，存在の名ではなく形の名である。“自然数”とは，“対象は自然数の形をもつ”を簡約した言い方である。

　自然数──“自然数”の形をした存在（対象）──は，実現されてはじめて存在する。自然数を実現する以前に自然数はない。繰り返すが，自然数の定義は一つの形の定義であり，この形をもつものの定立ではない。一つの形を定義することとその形をもつ対象を定立（実現）することとは，別の話しである。

　特に，自然数という存在──“自然数”の形をした存在──は一つではない。“自然数”という形において互いに同型であるものが，色々と存在し得る。

　自然数（無際限に続く系列）を実現する方法は，唯一〈生成〉である──即ち
《有限個の記号を，規則に従って組み合わせる》
という形のものである。実際，生成文法の導入を存在の実現と同一視することになる。

　われわれの実生活の中の“自然数”は，アラビア式および中国式自然数である。ときには，ローマ式自然数も使われる。但し，中国式とローマ式は，生成文法が項を無限に生成するものになっておらず，理論的には“自然数”と言えない。実用的に“自然数”ということである。

　数学では，周知のように，集合論において“入れ篭型”と形容されるアルゴリズムで自然数がつくられる。即ち，空集合φをもとに，
{φ},
{φ,{φ}},
{φ,{φ},{φ,{φ}}},
{φ,{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ},{φ,{φ}}}},
････
のように生成されるものを自然数と定義する。

　はじめ，はじめのそのつぎ，はじめのそのつぎのそのつぎ，････ も自然数である(註)。

　“生成文法の導入が自然数の実現である”という意味で，唱えることにおいてしか自然数は存在しない(“数え主義")。特に，自然数を“個数の抽象”という形で実現することはできない。個数は確かに“自然数”の概念化の契機ではあるが，“契機である”とは“個数の抽象という形で自然数がつくられる”ということではない。


（註） これの生成規則は，つぎのようになる：
  1. 記号列“はじめ”は自然数である．
  2. 記号列ｘが自然数のとき，記号列“ｘのそのつぎ”がｘの後者としての自然数である．
  3. 規則 (1),(2) で定義される自然数が自然数の全てである．