8.1.1 比例関数
数の系（Ｎ,＋,×）を作用域としてもつ二つの量の系（(Ｑ1,＋),(Ｎ,＋,×),×），（(Ｑ2,＋),(Ｎ,＋,×),×）に対し，つぎの条件を満たす関数ｆ:Ｑ1 ─→Ｑ2 を，比例関数と呼ぶことにする：
ｆ(ｘ×ξ)＝ｆ(ｘ)×ξ
この条件は，
《ｘとｙの比がξ:ηのとき，ｆ(ｘ)とｆ(ｙ) の比もξ:η》
と言い換えても同じ(註1)。
ｆに対し，
ｆ(ｘ＋ｙ)＝ｆ(ｘ)＋ｆ(ｙ)
が成り立つ(註2)。特に，比例関数は量の系の準同型(註3)。また，線型空間の構造をもつ量の系の間の準同型は，線型写像のことになる。
（註１） (1) ｆ(ｘ×ξ)＝ｆ(ｘ)×ξが成り立つとする。ｘとｙの比がξ:ηのとき，ｘ×η＝ｙ×ξ。そしてこれより，ｆ(ｘ)×η＝ｆ(ｘ×η)＝ｆ(ｙ×ξ)＝ｆ(ｙ)×ξ。よって，ｆ(ｘ)とｆ(ｙ) の比はξ:η。
(2) 逆に,《ｘとｙの比がξ:ηのときｆ(ｘ)とｆ(ｙ) の比もξ:η》が成り立つとする。このとき，ｘとｘ×ξの比は１:ξであるから，ｆ(ｘ) とｆ(ｘ×ξ) の比は１:ξ。即ち，ｆ(ｘ)×ξ＝ｆ(ｘ×ξ)。
（註２） Ｑ1の単位ｕに対し，ｆ(ｕ×ξ＋ｕ×η)＝ｆ(ｕ×(ξ＋η))＝ｆ(ｕ)×(ξ＋η)＝ｆ(ｕ)×ξ＋ｆ(ｕ)×η＝ｆ(ｕ×ξ)＋ｆ(ｕ×η)。
（註３） “準同型：Ｘ─→Ｙ”は,“ＸをＹに表現する”のような読みで理解しておけばよい。このとき，遡行可能な表現（即ち，ＹからＸが遡行できるような表現：Ｘ─→Ｙ）が“同型”である。