9.3.3 量のテンソル積


　数の系Ｎを作用域にもつ二つの量の系（Ｑ1,Ｎ),(Ｑ2,Ｎ）と単位ｕi∈Ｑi（i＝1,2）に対し，同型対応ｕi：(Ｑi,Ｎ）─→（Ｎ,Ｎ）（i＝1,2）を経由して，(ＮＮ,Ｎ) から量の系 (Ｑ1Ｑ2,Ｎ) を導出する。

　標準写像（can.)：
Ｑ1×Ｑ2 ─→ Ｑ1Ｑ2；
(ｘ1,ｘ2) ｘ1ｘ2　
は，複比例関数である(註1)。

　また，複比例関数ｆ:Ｑ1×Ｑ2─→Ｑ でｆ(Ｑ1*×Ｑ2*)⊂Ｑ* となるものに対し，(ｆ(Ｑ1×Ｑ2),Ｎ）はｆ(ｕ1,ｕ2) が単位となるところの量の系になる(註2)。さらに，同型φ:Ｑ1Ｑ2─→ｆ(Ｑ1×Ｑ2）が，対応：

ｘ1ｘ2 ｆ(ｘ1,ｘ2)

として得られる(註3)。言い換えると，図式：



を可換にする関数として得られる。そしてこの意味で，“量ｘ1とｘ2の積ｆ(ｘ1,ｘ2)”に対する“量ｘ1とｘ2のテンソル積ｘ1ｘ2”の解釈が立つ。


（註１） ｈi＝ｕi* とおきｘ＝ｕi×ξiとする（i＝1,2)。 そしてこれには，(ξ1×α)ξ2 が対応する。また， そしてこれには，(ξ1ξ2)×αが対応する。
　一方， （註２） ｆ(ｘ1,ｘ2) ＝ｆ(ｕ1,ｕ2)×(ξ1×ξ2)。

（註３）先ず，関数φ：ｘ1ｘ2 ｆ(ｘ1,ｘ2) が well-defined で，１対１対応であることを確かめる。つぎに，＋，×の定義に戻って，
φ(ｘ1ｘ2＋ｙ1ｙ2) ＝ｆ(ｘ1,ｘ2)＋ｆ(ｙ1,ｙ2)
φ((ｘ1ｘ2)×α） ＝ｆ(ｘ1,ｘ2)×α
を確かめる。
　以下，ｘi＝ｕi×ξi，ｙi＝ｕi×ηi（i＝1,2）とする。
(1) ｘ1ｘ2＝ｙ1ｙ2 のとき， ξ1×ξ2＝η1×η2。 そしてこのとき よって，φは well-defined。
　逆に，ｆ(ｘ1,ｘ2)＝ｆ(ｙ1,ｙ2) からはｆ(ｕ1,ｕ2)×(ξ1×ξ2)＝ｆ(ｕ1,ｕ2)×(η1×η2) が導かれ，このとき ξ1×ξ2＝η1×η2，さらにｘ1ｘ2＝ｙ1ｙ2 よって，φは１対１。
(2)