Up 倍 ←→ 行列の作用  

    線型代数と「数と量」は，１次元実線型空間と＜実数に対する量＞で同じものになります。 そしてこのときは，ベクトルに対する線型変換 (行列の作用) と量に対する倍 (数の作用) が同じものになっています。
    そこで，次元が上がるときの「＜量に対する倍 (数の作用)＞に対応するもの」としては，＜ベクトルに対する線型変換 (行列の作用)＞を自ずと択ぶことになります。

    体Ｋ上の線型空間Ｅにおける線型変換：Ｅ─→ Ｅ の考え方は，「任意の ｑ∈Ｅ，ｎ∈Ｋ に対しｆ(ｑ × ｎ) ＝ ｆ(ｑ) × ｎ」です。 実際，これが「線型 (線形を保つ)」の表現になります。
    そして，これを２次元以上で実現するためには，つぎの組を条件にするとよいことがわかります：
    1. ｆ( ｑ × n ) ＝ ｆ( ｑ ) × n
    2. ｆ( ｑ ＋ ｒ ) ＝ ｆ( ｑ ) ＋ ｆ( ｒ )
    １次元では，条件２は条件１の含意になります。

    線型変換は，基底の対応先で決定します。
    そしてこのことから，「行列」の表現をもつことになります。
    よって，「＜量に対する倍 (数の作用)＞には＜ベクトルに対する行列の作用＞が対応する」となります。