Up 「比例定数の積」→「行列の積」  

  • 線型写像の合成は，以下述べるように，表現行列の積の計算によって求めることができます。そしてこのときの行列の積は，比例定数の積とつぎのように対応しています：


  • 表現行列の積

    1. 線型写像f：Q ─→ Q'，g：Q' ─→ Q"　の合成 gf は，線型写像になります：
(gf)(x×ξ)＝g(f(x×ξ))＝g(f(x)×ξ)＝g(f(x))×ξ＝(gf)(x)×ξ
(gf)(x＋y)＝g(f(x＋y))＝g(f(x)＋f(y))＝g(f(x))＋g(f(y))＝(gf)(x)＋(gf)(y)

    1. Qの基底(u1, u2)，Q'の基底(v1, v2)，Q"の基底(w1, w2) に対し，(u1, u2), (v1, v2) に関するfの表現行列を
Ａ＝ α11 α12
α21 α22
      (v1, v2), (w1, w2) に関するgの表現行列を
Ｂ＝ β11 β12
β21 β22
      とするとき，(u1, u2), (w1, w2)に関するgfの表現行列を，ＡとＢの積
Ａ×Ｂ
      の形で表すことにします。比例関数の合成に比例定数の積が対応しましたが，これに倣うわけです。

    1. Ａ×Ｂの表す行列
γ11 γ12
γ21 γ22
      は，
γij＝αi1×β1j＋αi2×β2j　(i,j＝1,2)
      のようになります(註)。すなわち，
α11 α12
α21 α22 		× β11 β12
β21 β22 		＝ α11×β11＋α12×β21　α11×β12＋α12×β22
α21×β11＋α22×β21　α21×β12＋α22×β22

    (註) 実際，
      (gf)(ui)
      ＝g(f(ui))
      ＝g(v1×αi1＋v2×αi2)
      ＝g(v1×αi1)＋g(v2×αi2)
      ＝g(v1)×αi1＋g(v2)×αi2
      ＝(w1×β11＋w2×β12)×αi1＋(w1×β21＋w2×β22)×αi2
      ＝w1×(β11×αi1＋β21×αi2)＋w2×(β12×αi1＋β22×αi2)
      ＝w1×(αi1×β11＋αi2×β21)＋w2×(αi1×β12＋αi2×β22)
    　　したがって，
      γi1＝αi1×β11＋αi2×β21
      γi2＝αi1×β12＋αi2×β22
    　　すなわち
      γij＝αi1×β1j＋αi2×β2j　(j＝1,2)