Up 「有理数」の解釈  

    ここで述べる内容は，数学の「集合・構造・空間」および「埋め込み (embedding)」の論法に慣れている読者が対象になる。 　


    数学では，集合に構造を導入したものを，空間と呼ぶ。
    空間に対しては，「部分空間」の概念が導入される。
    「部分」の意味は，「集合の部分であって，空間の構造に関してそれ自体閉じている」である。 　

    例えば，環Ａに対して「Ａの部分環」が考えられる。
    これの意味は，「Ａの部分集合であって，Ａの環構造を定義している二つの算法──加法と乗法──に関して閉じているもの」である。 　


    分数全体の集合は，乗法と加法の二つの算法で定義される構造をもつ空間になる。
    小数全体の集合も，乗法と加法の二つの算法で定義される構造をもつ空間になる。 　

    いま，「小数倍を分数倍に解釈」をやるときの小数と分数の対応で以て，小数の集合を分数の集合に埋め込む。 　


    この集合の埋め込みは，小数の構造を合わせた埋め込みになっている。 ──即ち，埋め込みの写像をｆとするとき，小数ｍ，ｎに対し，つぎが成り立つ：
f(m + n) ＝ f(m) + f(n)
f(m × n) ＝ f(m) × f(n)
　



    こうして，小数は，空間としての分数 (「有理数」) の部分空間と見ることができる。


    要点：
    小数を分数 (「有理数」) と見なせるのは，
    1. 「小数倍を分数倍に解釈」のやり方で，小数に分数を対応させることができる。
    2. 分数は有理数。
    に加えて，つぎが成り立っているからである：
    1. 小数と分数の対応は，《２つの小数の和・積に，対応先の２つの分数の和・積が対応する》ようになっている。