- 「多角形の内角の和」を主題化する最初の発問は，「ｎ角形の内角の和は？」ではありません。
「ｎ角形の内角の和は？」と問えるのは，すでに
「形（大きさ）の違いによらず，ｎ角形の内角の和は一定」
がわかっているときです。
数学的には，「形（大きさ）の違いによらず，ｎ角形の内角の和は一定」のところから，問題にしなければなりません。
それに指導の上からも，「形が大きくなれば内角の和も大きくなる」と考える子どもがいることを想定すべきです。
そこで，最初の発問は，つぎのものでなければなりません：
「この二つのｎ角形では，内角の和はどちらが大きい？」
そして，この問題の解決の中に，つぎの内容が含まれてくることになります：
「形（大きさ）の違いによらず，ｎ角形の内角の和は一定。
そしてそれは (180 × ｎ − 360) 度」
- ｎ角形の内角の和を求める方法には，巧拙があります。
また，万能の方法は，「外角」を用いる方法です。
このことを，確実に指導内容に含めなければなりません。
内角の和を求める方法の導入順序は，つぎのようになります：
「三角形に分割」の指導では，「三角形に分割」の巧拙を出します。
「拙」から「巧」への順番は，つぎのようになります：
- 対角線を任意に引いて，三角形分割
- 一つの頂点から残りの頂点に対角線を引いて，三角形分割
- 三角形の内部に一点を定め，これから頂点に線をひいて，三角形分割
「１＝拙，２＝巧」の理由
１は，実験にしかなりません。
2 は，三角形の個数を論理的に出せます。
（内角の和は，180゜に三角形の個数 (ｎー 2) を掛けて得られる。）
「２＝拙，３＝巧」の理由
３は，「辺の数＝三角形の数」なので，三角形の個数をとらえるのが簡単です。
（内角の和は，180゜に三角形の個数 ｎ を掛け，中心の 360゜をマイナスして得られる。）
また,「１＝拙，２＝巧」を主題化するためには，ｎを６以上にする必要があります。
（５角形では，「一つの頂点から残りの頂点に対角線を引く」しかありません。）
- 方法２と３は，ｎ角形が凸図形でないときに，行き詰まります。
このとき，万能の方法として，外角を使う方法の登場になります。
すなわち，「三角形分割＝拙，外角を使う＝巧」の位置づけとなります。
外角を使う方法では，内角の和は，
180゜にｎを掛け，外角の和 (＝360゜) をマイナスする
で求めることになります。
この方法が最後にくるのは，外角の考え方・つくり方がけっこう難しいからです。
── 凹図形で試してみると，難しさがわかります：
(凹んだところでは，外角が内に入ってくる)
「外角の和は，ｎに依存せずつねに 360゜」は，つぎのように指導するのが，学習者にとってわかりやすいでしょう：
ｎ角形を一周してごらん。
外角は，方向転換と同じだ。
１周して最初の体勢に戻るとき，カラダはちょうど１回転している。
つまり，外角の和は 360゜だ。
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