| Up | 論争は，遠山主義対モンスター ──数学のない論争 | 作成: 2012-01-10 更新: 2012-01-11 |
A. 遠山主義 学校数学/文科省/遠山主義の「かけ算の順序」に対する有効な論難の形は，「１あたり量 × いくつ分 は，なぜこの順序でなくてはならないのか？」である。 遠山主義者は，この論難に答えることができない。 なぜなら，「１あたり量 × いくつ分」は遠山啓から出てきているからである。 「遠山啓がそう言っている」 と答えたら，それは遠山啓を教祖に頂く遠山教になってしまう。 遠山啓が「１あたり量 × いくつ分」 としたのは，単につぎが理由である：
そしてこのときは，上の論難に対してはつぎのように返すしかない：
数学は，このタイプの論難とは無縁である。 なぜか？ 先ず，積の定義において「×の前後の２数の順序」が定められることになるが，これは＜取り決め＞である。 ＜取り決め＞によって，「×の前後の２数の順序」が決まる。 そして数学は，「この＜取り決め＞を受け入れるときは，この＜取り決め＞から推論で導かれることも受け入れなさい。」となる。 かけ算の文章題での積の立式は，推論である。 そして推論から導かれる積の２数の順序──この意味での「かけ算の順序」──は，一意に決まる。 「どちらでもよい」にはならない。 また，積の交換法則の話が出てくるのは，立式のつぎの段階であるところの＜計算＞においてである。 モンスターのモンスターたる所以は，以上の＜数学の方法＞を知らないことである。 B. モンスター 本論考でいう「モンスター」には，否定的な意味はない。 勝手を知らない場で行為を余儀なくされるとき，ひとはだれでもモンスターになる。 特に，「モンスター」には，「愚」とか「わがまま」の含意はない。 その場の勝手を身につけている者が，これを「愚」「わがまま」にするのである。 「１あたり量 × いくつ分 は，なぜこの順序でなくてはならないのか？」から「かけ算に順序はない」に短絡するのは，数学の場においてモンスターである。 このモンスターは，「かけ算の順序」の数学ないし数学における論理の方法論 (「命題論理」「述語論理」というときの「論理」) を知らないためのモンスターである。 「かけ算は可換，よってかけ算に順序はない」タイプのモンスターもいる。 これは，つぎのことを知らないためのモンスターである：
「×」の定義は，これから数の系 (Ｎ, ＋, ×) に仕上げていこうとする集合Ｎに対し積の記号「ｘ」を導入するものである。 これは，つぎのような記述になる：
(2)「可換」の定理 積の可換の定理は，つぎの記述になる：
(3) 定義と定理の位置関係 上の定義と定理に見るべきは，「可換」は「かけ算の順序」をいったん決めてから導入するようになるということである。 「順序のないかけ算」の定義は，ない。 数学者も，以上のモンスターになり得る。 実際，数学者であることは，＜算法の数学＞を修めていることを意味しない。 もっとも，数学者であって「かけ算に順序はない」を唱えるというのは，普通ではないとしてよい。 モンスターになるのは，＜数学を使うことが得意＞，＜学校での数学の成績がよかった＞で以て「自分は数学ができる」の思いになっている者である。 「自分は数学ができる」が「算数の内容など自分には他愛のないものである」になり，モンスターをやってしまうのである。 「自分は数学ができる」のタイプは，たいてい，「数学を知っている」と「数学を使う」の区別がついていない。 数学教育に引き寄せて言えば，「わかる」と「できる」の区別がついていない。 実際，算数/数学科の授業において，「できる」生徒は「わかる」にこだわらない生徒である。 「わかる」にこだわる生徒は，授業の中では愚図な生徒になる。 しかし，この愚図が，数学をする者の資質として大事なものになる。 逆に，「できる」生徒には，落とし穴が多い。 |