Up 要 旨  


    「数は量の抽象」の概念を立てることは,同時に,この概念を支えるための論を構築することである。 本章では,この論を概観する。


    「数は量の抽象」は,量を実体概念に定めるところから出発している。
    量には内包量と外延量がある」は,実体論として言っている。
    また,数に備わっているものは量に由来しなければならないので,「数の積は量の積の抽象」を言い出さねばならなくなる。

      数学では,量は一つの形式のことであり,数はこの形式の要素になっている。
      特に,量より先に数がある。

      実際,実体論を言うにしても,実体は量ではなく,量をその上に読んでいるところのモノである。 しかも,「量を読む」の内容は「数を使う」である。

      ただし,「数は量の抽象」の没論理を論理で分析しようとするのは,不毛な作業になる。 この章で行うとするのは,「数は量の抽象」が何を主張しているか,これが何を含意することになるか,をただ示すことである。


    「数は量の抽象」は,実際のところ,自然数・個数で以て数・量を考える。
    数指導はタイルで」「割り算には等分除と包含除がある」は,せいぜい自然数・個数のところでしか持ち堪えられない。

    「数は量の抽象」は,自然数・個数より先に進んだときの量計算で困ることになる。
    数の和・積は量の和・積の抽象にしなければならない。
    自然数・個数のときは,<数える>が使えて,計算の合理化の格好をなんとかつくれた。 自然数・個数より先に進むと,これができない。
    そこでどんな手を使うことにしたかというと,「形式不易の原理」である:
      自然数・個数で使えた形式は,自然数・個数より先に進んでも使える。
    これを自然法則・物理法則に類する実体法則にする。

    さらに,「数は量の抽象」なので,出てくる数をみな量にしなければならない。
    ところが,2量があれば,これの比が考えられることになり,これは数である。 この数もまた量にするということをやれば,無限ループになる。
    そこで,無限ループのストップをかけなければならない。
    これをやるために,また自然法則・物理法則に類する実体法則を使う。
    「割合」の問題の解法では,数である割合を量にしなければならないので,「1と見る」をやる。 そして,「比の3用法」という実体法則を導入して,無限ループのストッパーにする。 (「割合の問題の解法」(「数は量の抽象」の立場))


    このように,「数は量の抽象」の保持は,パッチあての作業になる。
    なぜこうなるかというと,論理矛楯をやっているからである。