Up 「１と見る」の数学  

    「１と見る」がどのような数学になるかを，ここで押さえる。

    量の系Ｑ (例えば，重さ) の代数的構造を考える。
    Qの要素２つに対しては，和が考えられている。
    Qの要素ｑ1とｑ2に対し，これの和をｑ1＋ｑ2で表すとしよう。(「＋」は太字の＋)

    Qの要素に対しては，数の系Ｎ (例えば分数) の要素の倍作用が考えられている。
    Qの要素ｑとＮの要素ｎに対し，ｑのｎ倍をｑ×ｎで表すとしよう。(「×」は下付の×)

    Ｎの要素２つに対しては，和と積が考えられている。
    Ｎの要素ｎ1とｎ2に対し，これの和と積をそれぞれ ｎ1＋ｎ2 ，ｎ1 × ｎ2 で表すとしよう。

    数の＋と×は，つぎの関係で条件付けられている (すなわち，これが＋と×の定義)：

      ｑ×ｎ1 ＋ｑ×ｎ2 ＝ｑ× (ｎ1＋ｎ2)
      (ｑ×ｎ1) ×ｎ2 ＝ｑ× (ｎ1×ｎ2)

    そして，これらの意味をすべて込めて，この構造をつぎのように表すとしよう：
      ( (Q, ＋), ×, (N, ＋, ×) )


    以上で，量の代数的な構造を規定したことになる。
    このような数学に慣れていない読者には，これだけでも相当疲れてしまうかも知れないが，「１と見る」にまで行くにはまだ一山ある。

    すなわち，数の系 (N, ＋, ×) を素材にして，
      ( (N, ＋), ×, (N, ＋, ×) )
    をつくる。
    これは，量の構造をもつものになる──すなわち，量になる：
    • (N, ＋) の要素が，「量としての数」
    • (N, ＋, ×) の要素が，「量としての数」の倍作用素──すなわち「量の比」

    さらに，Q の要素ｇに対して定まるつぎの対応ｆが，( (Q, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) と ( (N, ＋), ×, (N, ＋, ×) ) の間の同型対応になる。

      f : ｇ × ｎ ｎ

    さて，ここに出てきた「同型ｆ」が「１と見る」である。 ──実際，ｇを１と見ているわけである。


    例えば，Ｑを重さの集合，Ｎを分数の集合，ｇを「グラム」としよう。
    教員は，生徒につぎのことをさせる：

      ２ｇを，２にする。
      ２ｇと３ｇの和を，２＋３で計算する。
      ２ｇの３倍を，２×３で計算する。

    このとき教員が生徒にさせていることは，実はつぎの計算 (式変形) である：

      f(ｇ × 2 ) ＝ 2
      f(ｇ × 2 ＋ ｇ × 3) ＝ f(ｇ × (2 ＋ 3) ) ＝ 2 ＋ 3
      f((ｇ × 2 ) × 3) ＝ f(ｇ × (2 × 3) ) ＝ 2 × 3