Up 「量としての数」: 量の普遍対象  


    「1と見る」の数学の中で,数の系 (N, +, ×) から「量としての数」の系 ( (N, +), ×, (N, +, ×) ) を導いた:
    • (N, +) の要素が,「量としての数」
    • (N, +, ×) の要素が,「量としての数」の倍作用素──すなわち「量の比」

    ( (N, +), ×, (N, +, ×) ) は,Nの要素を倍の作用素として考えるすべての量 ( (Q, ), ×, (N, +, ×) ) にとって,この量の構造を示すものになっている。
    数学のことばを用いれば,
      ( (N, +), ×, (N, +, ×) ) は,(N, +, ×) の要素を倍の作用素として考える量の「普遍対象 (universal object)
    ということになる

    「普遍対象」は,イデア論の「イデア」である。
    ( (N, +), ×, (N, +, ×) ) は <Nを作用域とする量>のイデアであり,イデア ( (N, +), ×, (N, +, ×) ) の降りてきたものが <Nを作用域とする量>である。
    ──実際,数学で自体的に存在するのは,数であって,量ではない。


    線型空間論で「体K上のn次元線型空間E」を少し進んだところで,
      「Kからの線型空間Kの導出」
      「線型空間EとKの同型」
    の話が出てくるが,これが,いま論じている「1と見る」「量の普遍対象」の数学と対応している。
    ただし,「線型空間」と「量」は同じではない
    例えば,自然数 (, +, ×) に対する量 ( (, +), ×, (, +, ×) ) は,線型空間ではない。スカラが実数の2次元実線型空間 ( (, ), ×, (, +, ×) ) は量ではないが,複素数をスカラとしたときの1次元の線型空間 ( (, ), ×, (, +, ×) ) は,( (, +), ×, (, +, ×) ) と同型なので,量である。