自然数を使う量では，「個」と呼ばれる「部分を考えない量」を想定したが，「任意に部分を考えられる量」を扱いたくなったときに，分数がつくられる。 さらに，正逆２方向 (１次元自由) の量 (イメージとしては直線上のベクトル) を扱いたくなって，正負の数がつくられる。 ２次元自由の量 (イメージとしては平面上のベクトル) を扱いたくなって，複素数がつくられる。 ３次元自由の量を扱いたくなって，四元数がつくられる。 ──といった具合である。 以下，「数と量」のカテゴリーがどのようであるかを押さえておく。 ここでは，「数・量のカテゴリーは一通りでない」ということを見られたい。 「数と量」のカテゴリーをここで押さえておくことの趣旨は，自分が「数と量」としているものが，全体のどの辺りにあるのかを知るということである。 実際，ひとはたった一つの「数と量」を論じて，「数と量」の世界を論じているつもりになるものであるから。 数学では，量をつぎのカテゴリー区分でそれぞれ対象化していることになる： 
ただし，このうち「意味のあるカテゴリー」として実際に対象化しているのは，つぎのものである：  このカテゴリーを実現するものは，数(系) である。 複数のカテゴリーがあるので，複数の数(系) が必要になる。 これをつぎのようにつくっていく──矢線の意味は「導出・拡張」である：  数学の「量」は，形式である。 この形式を，数(系) を素材にしてつくる： （  数が量をつくる (『「数とは何か？」への答え』))：
 そして以降，「数」を「量の比」として使っていくことになる。 上の表から特に「比」の部分を取り出したのが，つぎの表である── これは，＜量のカテゴリー＞と＜比として使われる数(系)＞の対応を示す表になる：  |