Up 量であるとは,量の普遍対象と同型であること 作成: 2010-12-16
更新: 2010-12-16


    数学の「量」の定義は,つぎのようになる:
    1. <量の普遍対象>を,一つの数の系 (N, +, ×) に対する系 ( (N, +), ×, (N, +, ×) ) として定義する。
    2. これに同型な対象 ( (Q, ), ×, (N, +, ×) ) を,「( (N, +, ×) を比の系とする) 量」と呼ぶ。

    ここで,( (Q, ), ×, (N, +, ×) ) が ( (N, +), ×, (N, +, ×) ) と同型であるとは,1対1対応 f:Q ─→ N でつぎの条件を満たすものが存在するということ:
f(x+y) =f() +f()
f( × n) =f() × n

    ( (Q, ), ×, (N, +, ×) ) が確かに「量」のようになっていることを,見ていくとしよう。

    (1) 先ず,Qの任意の要素は,f() =1である ∈ Q に対し,× n,n∈ N の形に一意的に表される。 ──これは,Qの要素が「を単位にして測る」ことができ,そして「測定値はn」ということである。

      証明:
      f()=nとすると, f()=f()×n =f(× n)
      fは1対1だから, ×
      また, × m =× n とすると,
      m =f()×m =f(× m) =f(× n) =f()×n = n

    (1)' (N, ×) が左可約ならば,Qの任意の要素に対し──ただし,(Q, +) に零元が存在するとき (すなわち (N, +) に零元が存在するとき) は,零元でないに対し──つぎが成り立つ:
         × m = × n ならば,m=n

      証明:
      × k とすると, k×m =(f() ×k) × m =f(× k) × m =f() × m =f(× m) =f(× n) =f() × n =f(× k) × n =(f() × k) × n =k×n
      (N, ×) が左可約だから,m=n

    (2) Qの要素の倍の倍は,数の積の計算になる:
         ( × m) × n = × (m × n)

      証明:
      f(( × m) × n) =f( × m) × n =(f() × m) × n =f() × (m× n) =f( × (m× n) )
      fは1対1だから, ( × m) × n = × (m × n)

    (3) Qの要素の和は,数の和の計算になる:
          × × n = × (m + n)

      証明:
      f( × × n) =f( × m) + f( × n) =f() × m + f() × n =f() × ( m + n) =f( × ( m + n))
      fは1対1だから, q × × n = × (m + n)