「積分」の発想/方法： 曲線(一般) を階段に近似/平均化 作成: 2006-07-23
更新: 2008-07-17

  1. つぎの課題を考える：

      「関数ｆを，ある曲線の傾きの変化の様子を表していると見る。
      　そして，その曲線をグラフとする関数Ｆを求める。」

    (x, F(x)) での傾きが f(x) となる関数 F を求める。


    この解決の考え方は：

    • ｆが定値関数であれば，小学算数の知識でＦを求めることができる。
      一般に定値関数ではないので，問題になっている。

    • ｆのグラフを細分してその間を定値関数に近似 (＝ｆのグラフを階段グラフに近似) すると，Ｆのグラフの近似が得られる。

    • 区分を細かくするほど，Ｆのグラフのよりよい近似が得られる。

      　予想： 区分を細かくしていくと，Ｆのグラフがひとつの形に収束する


  2. ｆのグラフを階段グラフに近似し，これに対するＦのグラフを求める計算を文字式に表せば，これは「区分求積」の概念に一般化される。

    1. 階段関数への近似と，これに対する区分求積 St の計算式を，文字式で表す：

        Sx ＝ f(x1)·Δx1 ＋ f(x2)·Δx2 ＋ ‥‥ ＋f(xn)·Δxn
          ( x ＝ x1 ＋ x2 ＋ ‥‥ ＋ xn )

    2. ∑ (シグマ) の記号法を導入する：
        f(x1)·Δx1 ＋ f(x2)·Δx2 ＋ ‥‥ ＋f(xn)·Δxn ＝　 n
        ∑
        k=1                 		f(xk)·Δxk


  3. 「区分を細かくする」の極限を，式に表す。
    (これは「積分」の概念に一般化される)

    • lim を導入する：
        lim
        n→∞        		 n
        ∑
        k=1        		 f(xk)·Δxk