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「微分」の発想/方法： 曲線(一般) を角々に近似/平均化

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• 小学校で「比例関係」を勉強しました。
  その成果として，「比例関係」として一旦抽象した量関係は，計算処理できるようになりました。
  関数のことばで言うと，関数「f(x)＝ax」を扱えるようになったということです。
  そして中学では，「線型の関数：f(x)＝ax が原点からシフトした関数」ということで，関数「f(x)＝ax＋b」，すなわち１次関数を扱えるようになりました。
  
  
• ここで，
  「一般の関数 f(x) を扱えるようになりたい！」
  という欲が出てきます。
  しかし，これは欲張り過ぎ ＾＾;
  
  「１次関数」のつぎということで「２次関数」に取り掛かるというのはどうでしょう。
  控えめでいいアプローチです ＾＾
  この順序で行くと，3次関数，4次関数，そして一般ｎ次関数と進むことになります。
  
  しかしここでは，もっと欲張って，「→2次→3次→‥‥→ｎ次」のステップを跳び越えることにします。
  
  すなわち，ｎ次関数の「なめらか＝局所的に１次 (線型)」という特徴に着目します。そして「ｎ次関数」を跳び越えて，つぎのように欲張っちゃいます：
  「なめらかな関数」を扱えるようになりたい！
  
  
• 「微分」のテーマは，この「なめらかな関数」の処理 (その方法) です。
  この処理のアイデアは，つぎのようになります：
  
  
  なめらかな関数のイメージは平面上の曲線だが，この曲線を直線でつなぎあわせた形に近似する。
  （なめらかな関数を，1次関数をつないだ形に近似する。）
  さらに, (可能な場合には) この近似を巧みに処理することで誤差を無くする。
  
  要するに，小学生が処理できる形に直し，自ら小学生になって処理しようということです。
  「難しいものは，簡単なものに置き換える！」──「微分」のアイデアは，詰まるところ，これです。