Up 「微分と積分は逆の関係にある」にならない 作成: 2010-10-28
更新: 2010-10-28

    高校数学の「微積分」では，
      「グラフの接線の傾きを求めることが，微分」
      「グラフとｘ軸と区間で画される領域の面積を求めることが，積分」
    と教えられる。

    こんなふうに教えられた生徒は，微分と積分がつぎの逆の関係にあることを知らない者になる：
関数ｆ　─(微分：変化から変化率を導く)→　
　←(積分：変化率から変化を導く)─　		関数ｇ　　　　
    では，微分と積分が逆の関係にあることが教えられていないかというとそうではなく，「逆の関係」がつぎのように教えられる：
      「関数ｆの積分とは，微分してｆになる関数を求めること」

    これは，「積分」を２通りに定義していることになる：
      「グラフとｘ軸と区間で画される領域の面積を求めることが，積分」
      「関数ｆの積分とは，微分してｆになる関数を求めること」
    したがって，本来なら，この２つの定義の関係づけを指導内容にしなければならない。
    しかし，高校数学の「微積分」では，これも行われない。



    　註 : 関数ｆのグラフとｘ軸と区間 [ａ, ｂ] で画される領域の面積を求めることが，どうしてｆの [ａ, ｂ] における定積分を求めることと同じになるのか？


    それは，この定積分を求める区分求積の形が，面積を求める形になるからである：
      lim
      n→∞      		 n
      ∑
      k=1      		 f(ｘk) ·Δｘk
      a ＝ ｘ1 ＜ ｘ0 ＜ ‥‥ ＜ ｘn−1 ＜ ｘn ＝ b
      Δxk ＝ ｘk＋1 − ｘk (ｋ＝ 1, ‥‥, n−1)

    この二つのことの符合は，どうしてか？
    ｆが，ｆとｘ軸ではさまれる面積の変化率になるからである。