Up 「意味を知る」の意味 作成: 2010-10-24
更新: 2010-10-24


    「微積分」の意味を知るとは,「微積分」の数学的定義を知るということではない。
    定義は,「形式」の観点から本質と定めたものの記述である。
    その形式は,意味の抽象である。
    そして意味とは,卑近な意味のこと,すなわち出処である。

    「微積分」の出処は,運動解析である。
    運動解析では,時間・距離・速さが対象化される。
    さらに,<経過時間─距離>と<経過時間─速さ>の関係が問題にされる。
    その問題はこうである:
       「<経過時間─距離>と<経過時間─速さ>の関係は,
     一方からもう一方が導かれるというものか?」

    なぜこの問題が重要になるのか?
    答えがもし「YES」なら,速さの加減が,目的とする移動を実現する方法になる。

    アタリマエのことを問題にしているように聞こえるだろうか?
    そう,アタリマエのことを問題にしているのである。
    ただし,このアタリマエのことをきっちりやるとき,月着陸のロケットを飛ばす道も開けてくる。 このアタリマエをやることは,たいしたことなのである。

    こういうわけで,「微積分」の意味の学習は,端的に,つぎの内容の学習である:
       <経過時間─距離>と<経過時間─速さ>の関係は,
    一方からもう一方が導かれるふうになっている。

    この学習の中で,実際にやっていることの形式として,「微積分」が現れてくる。 ──<経過時間─距離>から<経過時間─速さ>を導くのが微分で,その逆が積分である。

    この形式は,関数のことばを用いて定式化される。
    そのことばは,「実数を定義域・値域とする関数f: D→ (D ⊂ )」「fの導関数」「fの原始関数」「a∈Dにおけるfの変化率/fのグラフの傾き」「a∈Dにおけるfの積分値 (定積分)」等である。

    この形式化により,「微積分」の応用領域が,「微積分」の出処になったものから一挙に拡がる。 例えば,「面積・体積の求積」が「微積分の応用主題」のとらえになる。


    数学の「微積分」の入門書は,第1頁をこの形式から始める。 そこで,意味知らずの学習になるのもアタリマエ,ということになる。

    高校数学の微積分にも,問題がある。
    高校数学では,関数fのグラフとx軸の区間の間の面積を求める計算を「積分」として導入し,そして「面積・体積の求積」へ進める具合になっている。 そしてこの場合,積分と微分の対称的な関係が見えなくなってしまう。 高校数学の微積分では「微積分」の意味を学習できないということである。