Up eix = cos x + i sin x 作成: 2017-10-26
更新: 2017-10-28


    指数関数 f(x) = e は,つぎの条件で定義されていることになる:
      1゜f(x1 + x2) = f(x1) × f(x2)
      2゜f′(0) = 1
    そして,f(1) をe と表記し,f(x) を e と表記する,というわけである。

    ところで,「f(x1 + x2) = f(x1) × f(x2)」の形式をもつものに,「平面上の回転」がある。


    「平面上の回転」は,つぎのように定式化される:

      一つの平面上のベクトル全体は,実数をスカラーとして2次元線型空間をつくる。
      さらにこの2次元線型空間は,スカラーを複素数に取り換えることで1次元線型空間になる。 ( 複素数
      複素数をスカラーとするこの1次元線型空間を,Vとする。

      V の導入で,ベクトルに対する「θラジアンの回転」と「( cosθ + i sinθ) 倍」が同じことになる。
      特に,「<回転の合成>の意味」として,つぎが成り立つ:
        cos(θ + τ) + i sin(θ + τ)
          = (cosθ + i sinτ) × (cosθ + i sinτ)

      複素数の「数空間」──ベクトルとスカラーの両方を複素数とする1次元線型空間──を,Cで表す。
      (註. 「複素平面」は,「Cに随伴するアフィン空間」がこれの意味である。)

      大きさが0でない() ∈ V を,一つ定める。
      VとCの間には,つぎの同型対応が立つ:
        ψ:()× (x + i y)├─→ x + i y
      そしてこの同型を介して,ベクトル()()× (x + i y) の θラジアン回転と複素数のつぎの積が対応することになる:
          (x + i y) × ( cosθ + i sinθ)

       註: Cにおける複素数の積には,見掛けは同じだが意味の違う,つぎの2通りがある:
       ・ベクトルのスカラ倍 (「作用」)
          (x + i y) × ( cosθ + i sinθ) としての (x + i y) × ( cosθ + i sinθ)
       ・スカラの積 (「作用の合成」)
          (cosθ + i sinτ) × (cosθ + i sinτ)


    「cos(θ + τ) + i sin(θ + τ) = (cosθ + i sinτ) × (cosθ + i sinτ)」より,関数f:x├─→ cosx + i sinx は,指数関数 e の条件 1゜( f(x1 + x2) = f(x1) × f(x2) ) を満たす。
    条件 2゜( f′(0) = 1 ) の方はどうか?

    fの微分を試してみる:
      f'(x) = (cosx + i sinx)' = (cosx)' + i (sinx)'
         = (ーsinx) + i cosx
          ( = cos(x+π/2) + i cos(x+π/2) = (f(π/2))1f(x) = i 1 f(x) )
      f''(x) = (f'(x))' = ((ーsinx) + i cosx)'
         = (ーcosx) + i (ーsinx)
          ( = cos(x+π) + i cos(x+π) = (f(π/2))2f(x) = i 2 f(x) )
      f'''(x) = (f''(x))' = ((ーcosx) + i (ーsinx))'
         = sinx + i (ーcosx)
          ( = cos(x+3π/2) + i sin(x+3π/2) = (f(π/2))3f(x) = i 3 f(x) )
      f''''(x) = (f'''(x))' = ((ーsinx) + i (ーcosx))'
         = cosx + i sinx
          ( = cos(x+2π) + i cos(x+2π) = (f(π/2))4f(x) = i 4 f(x) )
    特に,
      f'(0) = i 1 = i
      f''(0) = i 2 = ー1
      f'''(0) = i 3 = ー i
      f''''(0) = i 4 = 1

    条件2゜( f′(0) = 1 ) とは違った。しかしこれは,条件2゜の拡張と見ることができる。
    そこで逆に,「e の方を,この条件を満たすものに拡張する」ということを考える。
    それは,()()()()「eix」を考えることで,実現される:
      f:x├─→ eix において,
      f'(x) = (eix)' = i eix
          ( = i 1 f(x) )
      f''(x) = (f'(x))' = (i eix)' = ーeix
          ( = i 2 f(x) )
      f'''(x) = (f''(x))' = (ーeix)' = ーieix
          ( = i 3 f(x) )
      f''''(x) = (f'''(x))' = (ーieix)' = eix
          ( = i 4 f(x) )
    特に,
      f'(0) = i 1 = i
      f''(0) = i 2 = ー1
      f'''(0) = i 3 = ー i
      f''''(0) = i 4 = 1

    こうして,「cosx + i sinx」と「eix」が,形式において全く同じものになった。
    そこで改めて,「eix」を, 「cos x + i sin x」の()()()()()()導入する:
        eix = cos x + i sinx


    強調するが, 「eix」は「cos x + i sinx」の別表記として導入されるものである。
    eを虚数乗するってどういうこと?」みたいに考えるものではない。
    「eix = cos x + i sinx」は,定理ではなく,定義である。

      「eix = cos x + i sinx」を定理と定め,「(eix のマクローリン展開) = (cos x のマクローリン展開) + i (sin x のマクローリン展開)」を証明として載せているテクストに出会うことがある。 これは間違いである。
      ()()()()マクローリン展開する」と「定理の証明としてマクローリン展開する」は,見掛けは同じでも,意味が違う。