指数関数は，つぎのように特徴づけられる：
読み方は，「変化率が，全体の大きさに比例」である。
「変化率が，全体の大きさに比例」の例としては，つぎのものがある：
- マルサスの人口論：「人口は幾何級数的に増加する」
──「人口の増加率 (単位時間あたり増加数) は，人口に比例」
- 「放射能の強さ (単位時間あたり原子崩壊数)は，原子の数に比例」
──「原子の数の減少率 (単位時間あたり減少数) は，原子の数に比例」
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以下，条件「f′(ｘ) ＝ ｋf(ｘ)」が指数関数を特徴づけることを見ていく。
1. 指数関数ｆが，「f′(ｘ) ＝ ｋf(ｘ)」を含意すること
実際，「f(ｘ + ｙ) ＝ f(ｘ) × f(ｙ)，f′(０) ＝ ｋ」から「f′(ｘ) ＝ ｋf(ｘ)」が導かれる：
任意のｘで f(ｘ) ＝ f(ｘ + 0) ＝ f(ｘ) × f(0) より，f(0) ＝ 1
これより
f(ｘ＋ｈ) − f(ｘ) ＝ f(ｘ) × f(ｈ) − f(ｘ)
＝ ( f(ｈ) − １) × f(ｘ) ＝ ( f(ｈ) − f(0) ) × f(ｘ)
さらに
| f′(ｘ) ＝ |
lim
h → 0 |
( f(ｘ＋ｈ) − f(ｘ) ) / h |
| ＝ ( |
lim
h → 0 |
( f(ｈ) − f(0) ) / h ) × f(ｘ) ＝ ｋf(ｘ) |
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2. 条件「f′(ｘ) ＝ ｋf(ｘ)，f(0) ＝1」を満たす関数は，指数関数であること
(条件「f(0) ＝1」が加わる理由は，以下の証明で示される）
f′(ｘ) ＝ ｋf(ｘ) より，f′(ｘ) / f(ｘ) ＝ ｋ
これの両辺を積分して，
loge f(ｘ) ＝ ｋｘ＋ C
よって，
f(ｘ) ＝ eｋｘ＋ C
＝ eC (eｋ)ｘ
eｋ ＝ ａ とおくと，f(ｘ) ＝ eC ａｘ
このままではｆは指数関数ではないが，ここで条件「f(0) ＝1」が効いてくる。
eC ＝ f(０) ＝ 1 より，f(ｘ) ＝ ａｘ
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