一つの平面上のベクトル全体は，実数をスカラーとして２次元線型空間をつくる。
さらにこの２次元線型空間は，スカラーを複素数に取り換えることで１次元線型空間になる。
（  複素数 ）
このとき，ベクトルに対する「θラジアンの回転」と「( cosθ ＋ i sinθ) 倍」が同じことになる。
特に，「＜回転の合成＞の意味」として，つぎが成り立つ：
cos(θ + τ) ＋ i sin(θ + τ)
＝ (cosθ ＋ i sinτ) × (cosθ ＋ i sinτ)
この等式から，学校数学に出てくる「三角公式」が以下のように導かれる：
- 「加法定理」
cos(x + y) ＝ cos x cos y ー sin x sin y
sin (x + y) ＝ cos x sin y ＋ sin x cos y
cos(x + y) ＋ i sin(x + y)
＝ (cos x ＋ i sin x) × (cos y ＋ i sin y)
＝ (cos x cos y ー sin x sin y) ＋ i (cos x sin y ＋ sin x cos y)
よって，
cos(x + y) ＝ cos x cos y ー sin x sin y
sin (x + y) ＝ cos x sin y ＋ sin x cos y
- 「２倍角の公式」
cos(2x) ＝ (cos x)2 ー (sin x sin y)2
sin (2x) ＝ 2 sin x cos x
cos(2x) ＋ i sin(2x) ＝ (cos x ＋ i sin x)2
＝ (cos x)2 ー i (2 sin x cos x)
よって，
cos(2x) ＝ cos x cos y ー sin x sin y
sin (2x) ＝ sin x cos y ＋ sin x cos y
- 「３倍角の公式」
cos(3x) ＝ 4 (cos x)3 ー ３cos x
sin (2x) ＝ ー 4 (sin x)3 ＋ ３ sin x
cos(3x) ＋ i sin(3x) ＝ (cos x ＋ i sin x)3
＝ ((cos x)3 ＋３(cos x)2 (i sin x) ＋３cos x (i sin x)2 ＋ (i sin x)3
＝ (cos x)3 ＋ ３cos x (i sin x)2
＋ ３(cos x)2 (i sin x) ＋(i sin x)3
＝ ( ー３cos x (sin x)2 ＋ (cos x)3 )
＋ i (３(cos x)2 sin x ー (sin x)3 )
よって，
cos(3x) ＝ ー３cos x (sin x)2 ＋ (cos x)3
＝ ー３cos x (１ー cos x)2 ＋ (cos x)3
＝ 4 (cos x)3 ー３cos x
sin (3x) ＝ ３(cos x)2 sin x ー (sin x)3
＝ ３(1 ー sin x)2 sin x ー (sin x)3
＝ ３ sin x ー 4 (sin x)3
- 「積和の公式」
cosｘ cosｙ = 1/2 ( cos(ｘ＋ｙ) ＋ cos(ｘーｙ) )
cosｘ sin ｙ = 1/2 ( sin (ｘ＋ｙ) ＋ sin (ｘーｙ) )
sin ｘ sin ｙ = 1/2 ( cos(ｘ＋ｙ) ー cos(ｘーｙ) )
sin (x + y) ＝ cos x sin y ＋ sin x cos y
sin (xー y) ＝ ーcos x sin y ＋ sin x cos y
第一式から第二式を引いて sin x cos y を消去すると，
cosｘ sin ｙ = 1/2 ( sin (ｘ＋ｙ) ＋ sin (ｘーｙ) ) 。
cos(x + y) ＝ cos x cos y ー sin x sin y
cos(xー y) ＝ cos x cos y ＋ sin x sin y
第一式と第二式を足して sin x sin y を消去すると，
cosｘ cos ｙ = 1/2 ( cos (ｘ＋ｙ) ＋ cos (ｘーｙ) )。
第二式から第一式を引いて cos x cos y を消去すると，
sinｘ sin ｙ = 1/2 ( ーcos (ｘ＋ｙ) ＋ cos (ｘーｙ) ) = 1/2 ( cos (ｘ＋ｙ) ー cos (ｘーｙ) ) 。
- 「和積の公式」
cosｘ＋ cosｙ = 2 cos((ｘ＋ｙ)/2) cos((ｘーｙ)/2)
cosｘー cosｙ = ー2 sin((ｘ＋ｙ)/2) sin((ｘーｙ)/2)
sin ｘ＋ sin ｙ = 2 sin((ｘ＋ｙ)/2) cos((ｘーｙ)/2)
sin ｘー sin ｙ = 2 cos((ｘ＋ｙ)/2) sin((ｘーｙ)/2)
cosｘ cosｙ = 1/2 ( cos(ｘ＋ｙ) ＋ cos(ｘーｙ) ) のｘ，ｙを，それぞれ (ｘ＋ｙ)/2 と (ｘーｙ)/2 に換えると，cosｘ＋ cosｙ = 2 cos((ｘ＋ｙ)/2) cos((ｘーｙ)/2) を得る。
sin ｘ sin ｙ = 1/2 ( cos(ｘ＋ｙ) ー cos(ｘーｙ) ) のｘ，ｙを，それぞれ (ｘ＋ｙ)/2 と (ｘーｙ)/2 に換えると，cosｘー cosｙ = ー2 sin((ｘ＋ｙ)/2) sin((ｘーｙ)/2) を得る。
cosｘ sin ｙ = 1/2 ( sin (ｘ＋ｙ) ＋ sin (ｘーｙ) ) のｘ，ｙを，それぞれ (ｘ＋ｙ)/2 と (ｘーｙ)/2 に換えると，sin ｘ＋ sin ｙ = 2 sin((ｘ＋ｙ)/2) cos((ｘーｙ)/2) を得る。
cosｘ sin ｙ = 1/2 ( sin (ｘ＋ｙ) ＋ sin (ｘーｙ) ) のｘ，ｙを，それぞれ (ｘーｙ)/2 と (ｘ＋ｙ)/2 に換えると，sin ｘー sin ｙ = 2 cos((ｘ＋ｙ)/2) sin((ｘーｙ)/2) を得る。
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