Up ユークリッド幾何学の公理  

    ユークリッド幾何学では，幾何学を厳格な理論として構築することが行われました。 「厳格」の意味は，「推論を規則に従わせる」です(註1)。
    この規則のうちには，「既に結論されていることでなければ，推論で根拠として使ってはならない」があります。
    このとき，「根拠の溯行」ということが起こります。
    根拠の溯行は，どこかで止まらねばなりません。 ユークリッド幾何学は，これ以上は溯行できない＜成り立つこと＞として，つぎの５つを定めています (「公準」と呼ばれます)：

    　P1. ２点を直線でつなげる
    　P2. 有限直線を好きなだけ延長できる
    　P3. 任意の点と距離に対し，その点を中心としその距離を半径とする円をかける。
    　P4. 直角はすべて等しい。
    　註 : 「直角」は，この公準に先立って定義されている (定義10)。
    　P5. 一つの直線が二本の直線と交わり，同じ側の内角の和が二直角より小さいならば，この二直線を延長すると，二直角より小さな角のある側で交わる。


    公準の第５番目の P5 (「第５公準」) は，いわくつきのものです。
    これは，他の４つと比べて，内容が際立って複雑です。そこで，他の４つから導かれるのでないかと思れてきます。実際そう思った人たちが，第５公準を導き出すことに挑戦してきました。

    しかし，この挑戦はもともと勝ち目のないものでした。 すなわち，第５公準は，やはり他の４つの公準から独立したものでした。
    それは，「非ユークリッド幾何学を構築できる」という形で示されました。 ( 非ユークリッド幾何学)


    第５公準は，初心者にはわかりにくい表現になっています。 つぎは第５公準と置き換えてもよいものになりますが(註2)，これらの方がわかりやすいでしょう：

      A：直線外の１点を通りこの直線と交わらない直線は，
      　　１つあって，ただ１つに限る

      B：三角形の内角の和は２直角


      C：つぎの２直線は，交わらない。




    註1 : 『原論』が形式言語的に厳格かというと，そうではありません。公準に先立つ定義も，イメージで補うことで成り立っています。
    註2 : A, B, C がそれぞれ P5 の置き換えになることの説明は，類書にあたってください。