ひとは上の２つの閉曲面──球面とトーラス──を，タイプの違うものとして観る。 ホモロジー加群は，ひとのこの直観に数学的表現/裏付けを与えようとする探求の中から，出て来たものである。 翻って，ホモロジー加群は何をするものかというと，閉曲面の分類をするものである。 数学は推理の自動機械である。 ホモロジー加群を使った閉曲面の探求が開始されると，ひとの直観が及ばなかったものを示してくるようになる。 ひとはこれを「本質」と呼ぶ。
数学と疎遠でいるのは，もったいないことなのである。 さて，閉曲面の本質的違いを捉えようとするホモロジー加群の方法は，どのようなものか？ トーラスには穴がある。 これが球面との決定的違いになっている。 では，穴とは何か？ 数学に感心してしまうのは，これにきっちり表現を与えてしまうことである。 曲面の上で一回りしてみる。 球面の場合，一周経路には内と外ができる。 トーラスでは，内と外ができる経路のほかに，内と外ができない経路が２通りとれる： 
そこで，タイプの違う経路を数学的に表現できればよさそうだ，となる。 一周経路を「サイクル」と呼ぶことにする。 内と外ができるサイクルを，面のバウンダリ (境界) になるサイクルと捉える。 タイプａのサイクルはバウンダリサイクルで，タイプｂ，ｃのサイクルはバウンダリサイクルではない。 こうして，サイクルの中にバウンダリサイクルがあるかどうか，あればそれはいくつのタイプに分かれるかで，閉曲面の分類ができそうな感じになってきた。 しかしまだ雲をつかむような感じである。 雲をつかむような感じなのは，サイクルが定まらないためである。 例えば，つぎのｂとｂ′，ｃとｃ′ は，それぞれ同じ扱いになるはずのものなので，１つにしなければならない。 
といった問題を解決していって，ホモロジー加群の発明に至る。 ホモロジー加群は，「サイクルの中にバウンダリサイクルがあるかどうか，あればそれはいくつのタイプに分かれるか」が，これを見ればわかるしくみになっている。 |