有向辺 \( \ \overrightarrow{ v_i v_j } \in C_1 \) のバウンダリを，\( v_j - v_i \in C_0 \) で表現した。
\( C_1, C_0 \) はそれぞれ有向辺，有向頂点が生成する \( \mathbb{Z} \)加群なので，このバウンダリ対応は \( C_1 \) から \( C_0 \) への準同型写像── \( \partial_1 \) で表す──を生成する。
実際，
\[
c = \sum_{k} n_k\ \overrightarrow{ v_{k1} v_{k2} } \ \in C_1
\]
に対し
\[
\partial_1 ( c ) = \partial_1 \Bigl( \sum_{k} n_k\ \overrightarrow{ v_{k1} v_{k2} }\ \Bigr)\
= \sum_{k} n_k\ \partial_1 \bigl(\ \overrightarrow{ v_{k1} v_{k2} }\ \bigr)\
= \sum_{k} n_k\ ( v_{k2} - v_{k1} )
\]
三角面の境界になるバウンダリサイクル
\( \ \overrightarrow{ v_i v_j }\ ＋ \overrightarrow{ v_j v_k }\ ＋\overrightarrow{ v_j v_k }\ \in C_1 \)
は， 有向三角面 \( ( v_i v_j ) ( v_j v_k ) ( v_j v_k ) \in C_2 \) のバウンダリということになった。
\( C_2, C_1 \) はそれぞれ有向三角面，有向辺が生成する \( \mathbb{Z} \)加群なので，このバウンダリ対応は \( C_2 \) から \( C_1 \) への準同型写像── \( \partial_2 \) で表す──を生成する。
実際，
\[
c = \sum_{k} n_k\ ( v_{k1} v_{k2} ) ( v_{k2} v_{k3} ) ( v_{k3} v_{k1} ) \ \in C_2
\]
に対し
\[
\begin{align}
\partial_2 ( c ) &= \partial_2 \Bigl( \sum_{k} n_k\ ( v_{k1} v_{k2} ) ( v_{k2} v_{k3} ) ( v_{k3} v_{k1} )\ \Bigr) \\
&= \sum_{k} n_k\ \partial_2 ( ( v_{k1} v_{k2} ) ( v_{k2} v_{k3} ) ( v_{k3} v_{k1} ) ) \\
&= \sum_{k} n_k\ (\ \overrightarrow{ v_{k1} v_{k2} }\ ＋\ \overrightarrow{ v_{k2} v_{k3} }\ ＋\ \overrightarrow{ v_{k3} v_{k1} }\ )
\end{align}
\]
\( \partial_1, \partial_2 \) を，バウンダリ写像と呼ぶ。
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