Up 基底変換の表現が,「行列」に  


    線型空間Eの2つの基底 {1, 2}, {1, 2} を考える。
    ベクトルの {1, 2} に対する表現が
        1 ×12 ×2
    であるとき,の {1, 2} に対する表現はどのようになるか?

    1, 2 の {1, 2} に対する表現が,つぎのようであるとする:
        11 ×112 ×12
        21 ×212 ×22
    このとき,
        1 ×12 ×2
        = ( 1 ×112 ×12 ) ×1
        + ( 1 ×212 ×22 ) ×2
        = ( ( 1 ×11 ) ×1 + ( 2 ×12 ) ×1 )
        + ( (1 ×21 ) ×2 + ( 2 ×22 ) ×2 )
        = ( 1 × ( a11 × n1 ) + 2 × ( a12 × n1 ) )
        + ( 1 × ( a21 × n2 ) + 2 × ( a22 × n2 ) )
        1 × ( n1 × a11 + n2 × a21 )
        2 × ( n1 × a12 + n2 × a22 ) )
    {1, 2} から {1, 2} への基底変換による各ベクトルの表現の変化は,a11, a12, a21, a22 の4つの数で決まることがわかった。
    そこで,この基底変換の表現としてつぎの記号法を導入する (「行列」の登場!):