Up 基底変換の表現が,「行列」に  

    線型空間Ｅの２つの基底 {ｕ1, ｕ2}, {ｖ1, ｖ2} を考える。
    ベクトルｘの {ｕ1, ｕ2} に対する表現が
        ｘ＝ ｕ1 × ｎ1 ＋ ｕ2 × ｎ2
    であるとき，ｘの {ｖ1, ｖ2} に対する表現はどのようになるか？

    ｕ1, ｕ2 の {ｖ1, ｖ2} に対する表現が，つぎのようであるとする：
        ｕ1 ＝ ｖ1 × ａ11 ＋ ｖ2 × ａ12
        ｕ2 ＝ ｖ1 × ａ21 ＋ ｖ2 × ａ22
    このとき，
        ｘ＝ ｕ1 × ｎ1 ＋ ｕ2 × ｎ2
        ＝ ( ｖ1 × ａ11 ＋ ｖ2 × ａ12 ) × ｎ1
        ＋ ( ｖ1 × ａ21 ＋ ｖ2 × ａ22 ) × ｎ2
        ＝ ( ( ｖ1 × ａ11 ) × ｎ1 ＋ ( ｖ2 × ａ12 ) × ｎ1 )
        ＋ ( (ｖ1 × ａ21 ) × ｎ2 ＋ ( ｖ2 × ａ22 ) × ｎ2 )
        ＝ ( ｖ1 × ( ａ11 × ｎ1 ) ＋ ｖ2 × ( ａ12 × ｎ1 ) )
        ＋ ( ｖ1 × ( ａ21 × ｎ2 ) ＋ ｖ2 × ( ａ22 × ｎ2 ) )
        ＝ ｖ1 × ( ｎ1 × ａ11 ＋ ｎ2 × ａ21 )
        ＋ ｖ2 × ( ｎ1 × ａ12 ＋ ｎ2 × ａ22 ) )
    {ｕ1, ｕ2} から {ｖ1, ｖ2} への基底変換による各ベクトルの表現の変化は，ａ11, ａ12, ａ21, ａ22 の４つの数で決まることがわかった。
    そこで，この基底変換の表現としてつぎの記号法を導入する (「行列」の登場！)：