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基底変換の合成の計算が,「行列の積」に

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線型空間Ｅの基底 {ｕ1, ｕ2}，{ｖ1, ｖ2}，{ｗ1, ｗ2} に関して，つぎの図式が可換であるとする： ここで，図式： を可換にする行列 を求めることにする。 先ず，与条件として： ｕ1 ＝ ｖ1 × ａ11 ＋ ｖ2 × ａ12 ｕ2 ＝ ｖ1 × ａ21 ＋ ｖ2 × ａ22 ｖ1 ＝ ｗ1 × ｂ11 ＋ ｗ2 × ｂ12 ｖ2 ＝ ｗ1 × ｂ21 ＋ ｗ2 × ｂ22 そこで， ｕ1 ＝ ｖ1 × ａ11 ＋ ｖ2 × ａ12 ＝ ( ｗ1 × ｂ11 ＋ ｗ2 × ｂ12 ) × ａ11 ＋ ( ｗ1 × ｂ21 ＋ ｗ2 × ｂ22 ) × ａ12 ＝ ( ｗ1 × ｂ11 × ａ11 ＋ ｗ2 × ｂ12 × ａ11 ) ＋ ( ｗ1 × ｂ21 × ａ12 ＋ ｗ2 × ｂ22 × ａ12 ) ＝ ｗ1 × ( ａ11 × ｂ11 ＋ ａ12 × ｂ21 ) ＋ ｗ2 ( × ａ11 × ｂ12 ＋ ａ12 × ｂ22 ) ｕ2 ＝ ｖ1 × ａ21 ＋ ｖ2 × ａ22 ＝ ( ｗ1 × ｂ11 ＋ ｗ2 × ｂ12 ) × ａ21 ＋ ( ｗ1 × ｂ21 ＋ ｗ2 × ｂ22 ) × ａ22 ) ＝ ( ｗ1 × ｂ11 × ａ21 ＋ ｗ2 × ｂ12 × ａ21 ) ＋ ( ｗ1 × ｂ21 × ａ22 ＋ ｗ2 × ｂ22 × ａ22 ) ＝ ｗ1 × ( ａ21 × ｂ11 ＋ ａ22 × ｂ21 ) ＋ ｗ2 × ( ａ21 × ｂ12 ＋ ａ22 × ｂ22 ) 一方 ｕ1 ＝ ｗ1 × ｃ11 ＋ ｗ2 × ｃ12 ｕ2 ＝ ｗ1 × ｃ21 ＋ ｗ2 × ｃ22 よって， ｃ11 ＝ ａ11 × ｂ11 ＋ ａ12 × ｂ21 ｃ12 ＝ ａ11 × ｂ12 ＋ ａ12 × ｂ22 ｃ21 ＝ ａ21 × ｂ11 ＋ ａ22 × ｂ21 ｃ21 ＝ ａ21 × ｂ12 ＋ ａ22 × ｂ22 そこで，基底変換の合成に対応する行列の計算を，つぎのように定めればよいことになる：