Up 「行列式」の定義 作成: 2015-02-10
更新: 2015-02-12

    二つのベクトルｖ1, ｖ1 が張る平行四辺形の面積を考える：
    ｖ1, ｖ1 を数ベクトルに表す：
    平行四辺形の面積は，つぎの計算で求められる：
　 (ａ11 ＋ ａ21 ) × (ａ12 ＋ ａ22 )
　 ー（ ａ11 × ａ12 ＋ ａ21 × ａ22 ＋ ２ × (ａ12 × ａ21) )
＝ ａ11 × ａ22 ー ａ12 × ａ21

    いま，ベクトル (ａ11, ａ12 ) と (ａ21, ａ22 ) が張る平行四辺形の面積を
    あるいは
det( (ａ11, ａ12 ), (ａ21, ａ22 ) )
    で表すことにする。
    この記号法を，「行列式」と呼ぶ。
    上の計算より，行列式 det( (ａ11, ａ12 ), (ａ21, ａ22 ) ) はつぎのように定義することになる：
＝ ａ11 × ａ22 ー ａ12 × ａ21

    しかし，ここに一つ問題が生じる。
    ベクトル (ａ11, ａ12 ) と (ａ21, ａ22 ) が張る平行四辺形の面積は，ベクトル (ａ21, ａ22 ) と (ａ11, ａ12 ) が張る平行四辺形の面積を表すところの
    と同じであり，そして上の定義に従えば，つぎのようになる：
＝ ａ21 × ａ12 ー ａ22 × ａ11
    符合が互いに逆の面積が２つ導かれてくるわけである。
    この問題は，つぎのように定めることで，解決される：
      《行列式が定める「平行四辺形の面積」は，符合のついた平行四辺形の面積》
    即ち，行列式 det( (ａ11, ａ12 ), (ａ21, ａ22 ) ) の値の正負は，つぎのようになる：
      平行四辺形の中を，原点中心に，(ａ11, ａ12 ) を (ａ21, ａ22 ) に向けて回転する。
      回転方向の正負 (反時計回りが正) が，det( (ａ11, ａ12 ), (ａ21, ａ22 ) ) の値の正負。

の場合，
det( (ａ11, ａ12 ), (ａ21, ａ22 ) ) は，正値
det( (ａ21, ａ22 ), (ａ11, ａ12 ) ) は，負値


    さて，「行列式は平行四辺形の面積」は，３次元では「行列式は平行六面体の体積」になる。
    「平行四辺形の面積」はつぎの方法で導いたが，これはわかりやすいようにということで用いた方法であって，「平行六面体の体積」に延長できる方法ではない：
    ３次元につながる方法は，以下のものである：
    1. 平行四辺形の面積は，底と定めた辺の長さと，この底に対して決まる高さで，求まる。
    2. 平行四辺形の底として，ｖ1 をとる。
    3. これに対する高さは，つぎのベクトルと同じ方向を向く：
        ｖ′ ＝ ( ーａ12, ａ11 )
    4. ｖ′ とｖ2 のなす角をτとするとき，
        高さ ＝ |ｖ2| cosτ
        cosτ ＝ (ｖ′ , ｖ2 ) / ( |ｖ′ | |ｖ2 | ) ＝ (ｖ′ , ｖ2 ) / ( |ｖ1 | |ｖ2 | )
      よって，
        高さ ＝ (ｖ′ , ｖ2 ) / |ｖ1 |
    5. 「底の長さ ＝ |ｖ1| 」と「高さ ＝ (ｖ′ , ｖ2 ) / |ｖ1| 」より，
        平行四辺形の面積 ＝ (ｖ′ , ｖ2 )
    6. (ｖ′ , ｖ2 ) をベクトルの成分で表す：
        (ｖ′ , ｖ2 )
        ＝ ( ( ーａ12, ａ11 ), ( ａ21, ａ22 ) ),
        ＝ ａ11 ａ22 ー ａ12 ａ21