Up ３次元へ 作成: 2015-02-11
更新: 2015-02-11

    ３つの数ベクトル
      ｖ1 ＝ (ａ11, ａ12, ａ13 )
      ｖ2 ＝ (ａ21, ａ22, ａ23 )
      ｖ3 ＝ (ａ31, ａ32, ａ33 )
    の張る平行六面体の体積を，つぎの「行列式」に表現する：

    行列式の値は，つぎの計算公式に代入することで求まる：
      　　ａ11 ａ22 ａ33 ＋ ａ12 ａ23 ａ31 ＋ ａ13 ａ21 ａ32
      　ー ａ11 ａ23 ａ32 ー ａ12 ａ21 ａ33 ー ａ13 ａ22 ａ31

    以下が，この計算公式を導くプロセスである：
    1. 平行六面体の体積は，底と定めた平行四辺形の面積と，この底に対して決まる高さで，求まる。
    2. 平行六面体の底として，ｖ1 と ｖ2 が張る平行四辺形をとる。
    3. これに対する高さは，ｖ1 と ｖ2 の外積 ｖ1 × ｖ2 と同じ方向を向く。
    4. ｖ1 とｖ2 のなす角をθとするとき，
        |ｖ1 × ｖ2| ＝ |ｖ1| |ｖ2 | sinθ
    5. 特に，|ｖ1 × ｖ2| は底の面積。
    6. ｖ1 × ｖ2 とｖ3 のなす角をτとするとき，
        高さ ＝ |ｖ3| cosτ
        cosτ ＝ (ｖ1 × ｖ2, ｖ3 ) / ( |ｖ1 × ｖ2| |ｖ3| )
      よって，
        高さ ＝ (ｖ1 × ｖ2, ｖ3 ) / |ｖ1 × ｖ2|
    7. 「底の面積 ＝ |ｖ1 × ｖ2| 」と「高さ ＝ (ｖ1 × ｖ2, ｖ3 ) / |ｖ1 × ｖ2| 」より，
        平行六面体の体積 ＝ (ｖ1 × ｖ2, ｖ3 )
    8. (ｖ1 × ｖ2, ｖ3 ) をベクトルの成分で表す：
        (ｖ1 × ｖ2, ｖ3 )
        ＝ ( (ａ12 ａ23 ー ａ13 ａ22, ａ13 ａ21 ー ａ11 ａ23, ａ11 ａ22 ー ａ12 ａ21 ),
        　　　(ａ31, ａ32, ａ33 ) )
        ＝　 (ａ12 ａ23 ー ａ13 ａ22 ) ａ31
        　＋ (ａ13 ａ21 ー ａ11 ａ23 ) ａ32
        　＋ (ａ11 ａ22 ー ａ12 ａ21 ) ａ33
        ＝　 ａ11 ａ22 ａ33 ＋ ａ12 ａ23 ａ31 ＋ ａ13 ａ21 ａ32
        　ー ａ11 ａ23 ａ32 ー ａ12 ａ21 ａ33 ー ａ13 ａ22 ａ31