換算のしくみを数学に表現しようとすると，「双対」および「テンソル」のはなしになる。
──実際，「双対」および「テンソル」は，「換算」の話であると言い切ってよい。
換算を，「いまもっている測定表現に，変更したい測定方法を掛ける」と見る。
この「掛ける」の記号が，\( \otimes \) である：
(いまもっている測定表現) \( \otimes \) (変更したい測定方法)
例えば，つぎのようになる：
(50 cm) \( \otimes \) (ｍ で測る)
長さに向きがついているとして，「長さの全体」を実ベクトル空間Ｖと考える。
長さの単位を一つ決めることは，Ｖの基底を一つ決めることに対応する。
長さ \( \bf x \) を単位 \( \bf e \) で測って測定値 x を出すことは，Ｖの汎函数 ──即ち，\( V^* \) の要素──である：
\[ {\bf x} = x\, {\bf e} \,\longmapsto x \ \ \ \ \ ( {\bf x} \in V) \]
この汎函数を \( {\bf e}^* \) と表すとしよう。
このとき, 「(50 cm) \( \otimes \) (ｍ で測る)」はつぎの表現になる：
\[ (50\, {\bf cm}) \otimes {\bf m}^* = 50\,( {\bf cm} \otimes {\bf m}^* ) \]
単位の変更は，基底変換である。
基底変換 : \( \bf cm \rightarrow \bf m \) の変換行列は，１行１列の行列 ( 100 ) であり，即ち 100 である：
\[ 100\,{\bf cm} = \bf m \]
一般に，ベクトル空間Ｖの基底変換の行列に応じる \( V^* \) の基底変換の行列は， \( A^{-1} \) である。
そこで，変換 : \( {\bf cm}^* \rightarrow {\bf m}^* \) の変換行列は，\( 100^{-1} \)，即ち 0.01 である：
\[ 0.01 {\bf cm}^* = {\bf m}^* \]
\( 100\,{\bf cm} = \bf m \) と \( 0.01 {\bf cm}^* = {\bf m}^* \) から，\( 50\, {\bf cm} \otimes {\bf m}^* \) はつぎの２通りに変形できる：
\[
50\, (0.01 {\bf m}) \otimes {\bf m} ^* = (50 \times 0.01)\, {\bf m} \otimes {\bf m}^* = 0.5\, {\bf m} \otimes {\bf m}^* \\
50\, {\bf cm} \otimes (0.01 {\bf cm}^*) = (50 \times 0.01)\, {\bf cm} \otimes {\bf cm}^* = 0.5\, {\bf cm} \otimes {\bf cm}^*
\]
「\( {\bf m} \otimes {\bf m}^* \)」「\( {\bf cm} \otimes {\bf cm}^* \)」は，「ｍを ｍで測る」「cｍを cｍで測る」であるから，ともに１である。
よって，
\[
0.5\, {\bf m} \otimes {\bf m}^* = 0.5\\
0.5\, {\bf cm} \otimes {\bf cm}^* = 0.5
\]
テンソルの計算としては，\( {\bf m} \otimes {\bf m}^* ,\, {\bf cm} \otimes {\bf cm}^* \) の「縮約」になる。
まとめて，
(50 cm) \( \otimes \) (ｍ で測る) = \( (50\, {\bf cm}) \otimes {\bf m}^* = 0.5 \)
この結果は，われわれの知る「換算」と符合するものである。
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