「線型写像」はつぎのように定義される：
線型空間Ｅに対する関数ｆ: Ｅ → Ｆ が線型写像であるとは，つぎの条件を満たすこと：
ｆ( q × n ) ＝ ｆ( q ) × n
ｆ( q ＋ ｒ ) ＝ ｆ( q ) ＋ ｆ( ｒ )
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線型写像ｆは，基底 {ｕ1, ｕ2} の行き先ｆ(ｕ1), ｆ(ｕ2) で決まってしまう。
実際，ｘ＝
ｕ1
×
ｎ1
＋
ｕ2
×
ｎ2
に対し，
ｆ(ｘ) ＝ ｆ(
ｕ1
×
ｎ1
＋
ｕ2
×
ｎ2
)
= ｆ(
ｕ1
×
ｎ1
)
＋ｆ(
ｕ2
×
ｎ2
)
= ｆ(
ｕ1
)
×
ｎ1
＋ｆ(
ｕ2
)
×
ｎ2
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ここで，Ｆの基底 {ｖ1, ｖ2} に対し
ｆ(ｕ1)
＝
ｖ1
×
ａ11
＋
ｖ2
×
ａ12
ｆ(ｕ2)
＝
ｖ1
×
ａ21
＋
ｖ2
×
ａ22
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として，上の計算をさらに進めると，つぎのようになる：
＝
(
ｖ1
×
ａ11
＋
ｖ2
×
ａ12
)
×
ｎ1
＋
(
ｖ1
×
ａ21
＋
ｖ2
×
ａ22
)
×
ｎ2
＝
(
(
ｖ1
×
ａ11
)
×
ｎ1
＋
(
ｖ2
×
ａ12
)
×
ｎ1
)
＋
(
(ｖ1
×
ａ21
)
×
ｎ2
＋
(
ｖ2
×
ａ22
)
×
ｎ2
)
＝
(
ｖ1
×
(
ａ11
×
ｎ1
)
＋
ｖ2
×
(
ａ12
×
ｎ1
)
)
＋
(
ｖ1
×
(
ａ21
×
ｎ2
)
＋
ｖ2
×
(
ａ22
×
ｎ2
)
)
＝
ｖ1
×
(
ｎ1
×
ａ11
＋
ｎ2
×
ａ21
)
＋
ｖ2
×
(
ｎ1
×
ａ12
＋
ｎ2
×
ａ22
)
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ｆが ａ11, ａ12, ａ21, ａ22 の４つの数で決まることがわかったので，「Ｅの基底 {ｕ1, ｕ2} とＦの基底 {ｖ1, ｕ2} に対する線型写像ｆの表現」としてつぎの記号法を導入する (「行列」の登場！)：
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