Up 線型写像の合成の計算が,「行列の積」に  

    線型空間Ｅ, Ｆ, Ｇ，線型写像ｆ，ｇ，Ｅの基底 {ｕ1, ｕ2}，Ｆの基底 {ｖ1, ｖ2}，Ｇの基底 {ｗ1, ｗ2} に関して，つぎの図式が可換であるとする：

    ここで，図式：

    を可換にする行列
    を求めることにする。

    先ず，与条件として：
        ｆ(ｕ1) ＝ ｖ1 × ａ11 ＋ ｖ2 × ａ12
        ｆ(ｕ2) ＝ ｖ1 × ａ21 ＋ ｖ2 × ａ22

        ｇ(ｖ1) ＝ ｗ1 × ｂ11 ＋ ｗ2 × ｂ12
        ｇ(ｖ2) ＝ ｗ1 × ｂ21 ＋ ｗ2 × ｂ22
    そこで，
      　ｇ(ｆ(ｕ1))
      ＝ｇ( ｖ1 × ａ11 ＋ ｖ2 × ａ12 )
      ＝ ｇ(ｖ1) × ａ11 ＋ ｇ(ｖ2) × ａ12
      ＝ ( ｗ1 × ｂ11 ＋ ｗ2 × ｂ12 ) × ａ11 ＋ ( ｗ1 × ｂ21 ＋ ｗ2 × ｂ22 ) × ａ12
      ＝ ( ｗ1 × ｂ11 × ａ11 ＋ ｗ2 × ｂ12 × ａ11 )
      ＋ ( ｗ1 × ｂ21 × ａ12 ＋ ｗ2 × ｂ22 × ａ12 )
      ＝ ｗ1 × ( ａ11 × ｂ11 ＋ ａ12 × ｂ21 ) ＋ ｗ2 ( × ａ11 × ｂ12 ＋ ａ12 × ｂ22 )

      　ｇ(ｆ(ｕ2)) ＝
      ＝ｇ( ｖ1 × ａ21 ＋ ｖ2 × ａ22 )
      ＝ｇ(ｖ1) × ａ21 ＋ ｇ(ｖ2) × ａ22 )
      ＝ ( ｗ1 × ｂ11 ＋ ｗ2 × ｂ12 ) × ａ21 ＋ ( ｗ1 × ｂ21 ＋ ｗ2 × ｂ22 ) × ａ22 )
      ＝ ( ｗ1 × ｂ11 × ａ21 ＋ ｗ2 × ｂ12 × ａ21 )
      ＋ ( ｗ1 × ｂ21 × ａ22 ＋ ｗ2 × ｂ22 × ａ22 )
      ＝ ｗ1 × ( ａ21 × ｂ11 ＋ ａ22 × ｂ21 ) ＋ ｗ2 × ( ａ21 × ｂ12 ＋ ａ22 × ｂ22 )
    一方
      ｇ(ｆ(ｕ1)) ＝ ｗ1 × ｃ11 ＋ ｗ2 × ｃ12
      ｇ(ｆ(ｕ2)) ＝ ｗ1 × ｃ21 ＋ ｗ2 × ｃ22
    よって，
      ｃ11 ＝ ａ11 × ｂ11 ＋ ａ12 × ｂ21
      ｃ12 ＝ ａ11 × ｂ12 ＋ ａ12 × ｂ22
      ｃ21 ＝ ａ21 × ｂ11 ＋ ａ22 × ｂ21
      ｃ21 ＝ ａ21 × ｂ12 ＋ ａ22 × ｂ22

    そこで，ｆとｇの合成に対応する行列の計算を，つぎのように定めればよいことになる：