いま，つぎのように設定する：
| \( U\) | ： 体 \(K\) 上の \(m\) 次元線型空間 |
| \( V\) | ： 体 \(K\) 上の \(n\) 次元線型空間 |
| \( {\bf u} = \{ {\bf u}_1, \cdots, {\bf u}_m \} \) | ： \( U\) の基底 |
| \( {\bf v} = \{ {\bf v}_1, \cdots, {\bf v}_n \} \) | ： \( V\) の基底 |
このとき，
\[
\{\ {\bf u}_i \otimes {\bf v}_j \ |\ i = 1,\cdots,m;\ j = 1,\cdots,n\ \}
\]
が，\(U \otimes V \) の基底になる。
線型空間では基底を行ベクトルの形に配置したが，テンソル積 \(U \otimes V \) ではつぎのように行列の形に配置する：
\[\left(
\begin{array}{ccc}
{\bf u}_1 \otimes {\bf v}_1 & \cdots & {\bf u}_1 \otimes {\bf v}_n \\
& \cdots & \\
{\bf u}_m \otimes {\bf v}_1 & \cdots & {\bf u}_m \otimes {\bf v}_n \\
\end{array}
\right)
\]
したがって，３つの線型空間のテンソル積だと，立方の形に構成することになる。
そして４つ以上になると，この表現は無理となる。
基底 \( \{ {\bf u}_i \otimes {\bf v}_j \} \) に対する座標 \( (\xi^{ij} ) \) も，基底の行列配置に対応させて，つぎのように行列の形に配置する：
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
\xi^{11} & \cdots & \xi^{1n} \\
& \cdots & \\
\xi^{m1} & \cdots & \xi^{mn} \\
\end{array}
\right)
\]
いま
| \({\bf x} \in U \) | ： 基底 \( \{{\bf u}_i\} \) に対する座標が \( ( x^1, \cdots, x^m )\) |
| \( {\bf y} \in V \) | ： 基底 \( \{{\bf v}_j\} \) に対する座標が \( ( {y}^1, \cdots, {y}^n )\) |
とすると，
\[
\begin{align*}
{\bf x} \otimes {\bf y}
&= ( x^1 {\bf u}_1 + \cdots + x^n {\bf u}_m ) \otimes ( {y}^1 {\bf v}_1 + \cdots + {y}^m {\bf v}_n ) \\
&= \sum_{i,j} ( x^i {\bf u}_i ) \otimes ( {y}^j {\bf v}_j ) \\
&= \sum_{i,j} (x^i {y}^j ) ( {\bf u}_i \otimes {\bf v}_j )
\end{align*}
\]
即ち，\( ( x^i y^j ) \) が 基底 \( \{ {\bf u}_i \otimes {\bf v}_j \} \) に対する \(x \otimes y \) の座標になる。
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
x^1 y^1 & \cdots & x^1 y^n \\
& \cdots & \\
x^m y^1 & \cdots & x^m y^n \\
\end{array}
\right)
\]
|