Up 超マトリクス 作成: 2018-02-22
更新: 2018-02-22


    線型写像/変換は,行列に表現される。
    しかし,テンソルの線型写像/変換は,行列の2次元配列を3次元以上に拡張した超行列が,自然な表現になる。

    例えば,つぎの形の線型写像の表現行列 (平方構成) は,立方構成に書く方が無理がない:
      \[ f : U \otimes V \longrightarrow W \]
    以下,これの説明。


    \(U,\, V,\,W\) の基底を,それぞれ
      \[ \{ {\bf u}_1, \cdots, {\bf u}_m \} \\ \{ {\bf v}_1, \cdots, {\bf v}_n \} \\ \{ {\bf w}_1, \cdots, {\bf w}_p \} \\ \]
    とする。
    このとき,\(U \otimes V\) の基底は,
      \[ \{ {\bf u}_i \otimes {\bf v}_j \,|\, i = 1, \cdots, m; \, j = 1,\cdots, n \} \]
    \( {\bf x} \in U \otimes V\) の \({\bf u}_i \otimes {\bf v}_j\) 成分を,\( x^{ij} \) で表す。

    \(f\) の表現行列 \(A\) は,つぎのようになっている:
    1. \((m \times n)\) 個の \( {\bf u}_i \otimes {\bf v}_j\) を,1列に並べる。
    2. この配列に対する \( {\bf x} \in U \otimes V\) の座標を,\( (x^1, \cdots, x^{m \times n})\) とする。
    3. \(A\) の \(k\) 行が \((a^k_1, \cdots, a^k_{m \times n})\) であるとは, \(f(\bf x)\) の \({\bf w}_k\) 成分が \[ a^k_1 x^1 + \cdots + a^k_{m \times n} x^{m \times n} \] になるということ。

    ここで,「1列に並べる」を「行列に並べる」に変える:
    1. \((m \times n)\) 個の \({\bf u}_i \otimes {\bf v}_j\) を,つぎのように配列する:
        \[\left( \begin{array}{ccc} {\bf u}_1 \otimes {\bf v}_1 & \cdots & {\bf u}_1 \otimes {\bf v}_n \\ & \cdots & \\ {\bf u}_n \otimes {\bf v}_1 & \cdots & {\bf u}_n \otimes {\bf v}_n \\ \end{array} \right) \]
    2. \( \bf x\) の座標を,つぎのように配列する:
        \[\left( \begin{array}{ccc} x^{11} & \cdots & x^{1n} \\ & \cdots & \\ x^{n1} & \cdots & x^{nn} \\ \end{array} \right) \]
    3. \(A\) の \(k\) 行の項を,つぎのように行列の形に配列する:
        \( a^k_t\) と積をなすのが \(x^{ij} \) であるとき:
        \( a^k_t\) を,\( a^k_{ij}\) として,行列の \((i, j) \) の場所の置く