座標変換
\[
\left(
\begin{array}{c}
x^1 \\
\vdots \\
x^n \\
\end{array}
\right)
\ \longrightarrow \
\left(
\begin{array}{c}
{x^{'}}^1 \\
\vdots \\
{x^{'}}^n \\
\end{array}
\right)
\]
は，行列 (「座標変換の表現行列」) の作用として記述できる：
\[
\left(
\begin{array}{c}
x^1 \\
\vdots \\
x^n \\
\end{array}
\right)
=
A\,
\left(
\begin{array}{c}
{x^{'}}^1 \\
\vdots \\
{x^{'}}^n \\
\end{array}
\right)
\ \ \ \ \ \
A = \left(
\begin{array}{ccc}
a^1_1 & \cdots & a^1_n \\
& \cdots & \\
a^n_1 & \cdots & a^n_n \\
\end{array}
\right)
\\
\left(
\begin{array}{c}
{x^{'}}^1 \\
\vdots \\
{x^{'}}^n \\
\end{array}
\right)
=
B\,
\left(
\begin{array}{c}
x^1 \\
\vdots \\
x^n \\
\end{array}
\right)
\ \ \ \ \ \
B = \left(
\begin{array}{ccc}
b^1_1 & \cdots & b^1_n \\
& \cdots & \\
b^n_1 & \cdots &b^n_n \\
\end{array}
\right)
\]
ここで，行列 \( A,\, B \) は，つぎの基底変換行列がもとである：
座標 \( x^i, {x^{'}}^i \) がそれぞれ基底 \( ( {\bf e}_1, \cdots , {\bf e}_n ),\, ( {{\bf e}^{'}}_1, \cdots , {{\bf e}^{'}}_n ) \) に対するものであるとき，
\[
( {{\bf e}^{'}}_1, \cdots , {{\bf e}^{'}}_n ) = ( {\bf e}_1, \cdots , {\bf e}_n ) \, A
\]
この意味は，
\[
{\bf e}_i \longrightarrow {{\bf e}^{'}}_i = a^i_1\,{\bf e}_1 \,+\, \cdots a^i_n\,{\bf e}_n
\]
そしてこのとき
\[
( {\bf e}_1, \cdots , {\bf e}_n ) = ( {{\bf e}^{'}}_1, \cdots , {{\bf e}^{'}}_n ) \, A^{-1}
\]
であるが， \( B \) はこの \( A^{-1} \) である。
この座標変換の特徴は，基底変換が線形だということである。
そこで，「一般の座標変換だと，どのような形式になるか」が，問題になる。
上の座標変換の式を展開すると：
\[
x^i = \sum_j a^i_j {x^{'}}^j
\ \ \ \ \ \
{x^{'}}^i = \sum_j b^i_j x^j \\
\]
これより
\[
a^i_j = \frac{\partial x^i}{\partial {x^{'}}^j}
\ \ \ \ \ \
b^i_j = \frac{\partial {x^{'}}^i}{\partial x^j}
\]
よって， \( A,\, B \) がつぎの行列となった：
\[
A = \left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x^1}{\partial {x^{'}}^1} & \cdots & \frac{\partial x^1}{\partial {x^{'}}^n} \\
& \cdots & \\
\frac{\partial x^n}{\partial {x^{'}}^1} & \cdots & \frac{\partial x^n}{\partial {x^{'}}^n} \\
\end{array}
\right)
\ \ \ \ \ \
B = \left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial {x^{'}}^1}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial {x^{'}}^1}{\partial x^n} \\
& \cdots & \\
\frac{\partial {x^{'}}^n}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial {x^{'}}^n}{\partial x^n} \\
\end{array}
\right)
\]
また，積 \( AB,\, BA \) を計算すると：
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
a^i_1 &
\cdots &
a^i_n \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
b^1_j \\
\vdots \\
b^n_j \\
\end{array}
\right)
= \sum_k a^i_k \, b^k_j
\\
\left(
\begin{array}{ccc}
b^i_1 &
\cdots &
b^i_n \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
a^1_j \\
\vdots \\
a^n_j \\
\end{array}
\right)
= \sum_k b^i_k \, a^k_j
\\
a^i_k \, b^k_j
= \frac{\partial x^i}{\partial {x^{'}}^k} \, \frac{\partial {x^{'}}^k}{\partial x^j}
= \frac{dx^i}{dx^j}
= \delta_{ij}
\\
b^i_k \, a^k_j
= \frac{\partial {x^{'}}^i}{\partial x^k} \, \frac{\partial x^k}{\partial {x^{'}}^j}
= \frac{d{x^{'}}^i}{d{x^{'}}^j}
= \delta_{ij}
\]
となって，行列 \(A,\, B \) が互いに逆行列であることが示される。
偏微分を項とするこの座標変換の形式は，一般の座標変換──即ち，基底変換が線形であるとは限らない座標変換──に対して，通用するものである。
以上，基底変換が線形である場合の座標変換の形式と，一般の座標変換の形式を示した。
そして，この形式は，「テンソル」のことばで述べられるものになる。
即ち，行列 \( A \)
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial x^1}{\partial {x^{'}}^1} & \cdots & \frac{\partial x^1}{\partial {x^{'}}^n} \\
& \cdots & \\
\frac{\partial x^n}{\partial {x^{'}}^1} & \cdots & \frac{\partial x^n}{\partial {x^{'}}^n} \\
\end{array}
\right)
\]
は，つぎのテンソルである：
\[
\sum_{i,j} \, a^i_j\, {\bf {e^{'}}}_j^* \otimes {\bf e}_i \ \ \ \ \ \ \ \ a^i_j = \frac{\partial x^i}{\partial {x^{'}}^j}
\]
行列 \( B = A^{-1}\)
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial {x^{'}}^1}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial {x^{'}}^1}{\partial x^n} \\
& \cdots & \\
\frac{\partial {x^{'}}^n}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial {x^{'}}^n}{\partial x^n} \\
\end{array}
\right)
\]
は，つぎのテンソルである：
\[
\sum_{i,j} \, b^i_j\, {\bf e}_j^* \otimes {\bf {e^{'}}}_i \ \ \ \ \ \ \ \ b^i_j = \frac{\partial {x^{'}}^i}{\partial x^j}
\]
そして，
\[
A\,
\left(
\begin{array}{c}
{x^{'}}^1 \\
\vdots \\
{x^{'}}^n \\
\end{array}
\right)
\\
B\,
\left(
\begin{array}{c}
x^1 \\
\vdots \\
x^n \\
\end{array}
\right)
\]
は，それぞれつぎのテンソルである：
\[
\sum_{i,j} \left( \, a^i_j\, {\bf {e^{'}}}_j^* \otimes {\bf e}_i \right) \left( \, {x^{'}}^j\, {\bf {e^{'}}}_j \right) \\
\sum_{i,j} \left( \, b^i_j\, {\bf e}_j^* \otimes {\bf {e^{'}}}_i \right) \left( \, x^j\, {\bf e}_j \right)
\]
計算は，双対単位の縮約である。
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