「仕事ポテンシャル場」の内容を振り返る。
空間 \( S \) を体Ｋ上の３次元ベクトル空間とする。
「ポテンシャル場」は，Ｓの上のスカラー値関数 f である：
\[
f : S \longrightarrow K
\]
xyz 座標を定め，「ポテンシャル勾配」をつぎの関数として定義する：
\[
f^{'} : {\bf x} \longmapsto
\left( \frac{\partial f({\bf x})}{\partial x}, \frac{\partial f({\bf x})}{\partial y}, \frac{\partial f({\bf x})}{\partial z} \right)
\ \ \ \ ({\bf x} \in S)
\]
「力場」は，質量全体と力全体をそれぞれ体Ｋ上のベクトル空間 \( M,\, F \) としたときの，つぎの関数である：
\[
{\bf X} : S \longrightarrow Hom(M,\,F)
\]
\( {\bf X}({\bf x}) \) は，\( {\bf x} \) に単位質量が置かれるときにこれが受ける力であり，「単位質量当たり力」を意味している。
ここで，質量を単位質量に固定することを以て，\( Hom(M,\,F) \) を \( F \) と同一視する。
また， \( F \) を３次元とし，これを体Ｋ上の３次元ベクトル空間 \( K \times K \times K \) と同一視する。
──即ち，\( F \) の基底 \( ( {\bf u}_1, {\bf u}_2, {\bf u}_3 ) \) を一つ定め，つぎの同型対応を以て \( F \) と \( K \times K \times K \) を同一視する：
\[
x^1\,{\bf u}_1 + x^2\,{\bf u}_2 + x^3\,{\bf u}_3 \longmapsto (x^1,\,x^2,\,x^3 ) \ \ \ \ \ (\, x^1,\,x^2,\,x^3 \in K \,)
\]
こうして，\( {\bf X} \) は，つぎの関数になる：
\[
{\bf X} : S \longrightarrow K \times K \times K
\]
そしてこの \( {\bf X} \) から，関数
\[
{\bf X}_x,\, {\bf X}_y,\, {\bf X}_z : S \longrightarrow K
\]
をつぎのようにして導く：
\[
{\bf X}({\bf x}) = \left( {\bf X}_x({\bf x}), {\bf X}_y({\bf x}), {\bf X}_z({\bf x}) \right)
\]
仕事は，「力と微小移動ベクトルの内積」を移動経路に沿って積分したものになる。
しかし，「ポテンシャル」は，「移動の仕事量は移動のルートに依らない」を含蓄する。
そこで，仕事の定義は，「仕事量微分係数の区間積分」がこれの形になる。
「仕事量微分係数」として，「f の \( {\bf X}- \)微分係数」を，つぎの内積で定義する：
\[
f^{'}({\bf x}) \cdot {\bf X}({\bf x}) \\
=
\frac{\partial f({\bf x})}{\partial x} {\bf X}_x({\bf x}) \,+\,
\frac{\partial f({\bf x})}{\partial y} {\bf X}_y({\bf x}) \,+\,
\frac{\partial f({\bf x})}{\partial z} {\bf X}_z({\bf x}) \\
=
\left( \frac{\partial f({\bf x})}{\partial x} ,\,
\frac{\partial f({\bf x})}{\partial y} ,\,
\frac{\partial f({\bf x})}{\partial z} \right)
\left(
\begin{array}{c}
{\bf X}_x({\bf x}) \\
{\bf X}_y({\bf x}) \\
{\bf X}_z({\bf x}) \\
\end{array}
\right)
\]
Ｓの点 \( {\bf a} \) から \( {\bf b} \) へ，曲線Ｃを描いて単位質量が移動するときの仕事は，つぎの線積分になる：
\[
\int_C \left(
\frac{\partial f({\bf x})}{\partial x} {\bf X}_x({\bf x}) \,+\,
\frac{\partial f({\bf x})}{\partial y} {\bf X}_y({\bf x}) \,+\,
\frac{\partial f({\bf x})}{\partial z} {\bf X}_z({\bf x})
\right) \,
d{\bf x}
\]
ここで，積分は曲線 \( C \) に依存しない──移動の始点・終点の \( {\bf a}, {\bf b} \) で決まる。
以上，「仕事ポテンシャル場」の内容の振り返り。
ここでは，以上の内容の一般化をする。
一般化は，「ポテンシャル」「力」「仕事」の意味づけをすべて無くすことである。
そして，関数
\[
f : S \longrightarrow K \\
f^{'} : {\bf x} \longmapsto
\left( \frac{\partial f({\bf x})}{\partial x}, \frac{\partial f({\bf x})}{\partial y}, \frac{\partial f({\bf x})}{\partial z} \right)
\ \ \ \ ({\bf x} \in S) \\
{\bf X} : {\bf x} \longmapsto \left( {\bf X}_x({\bf x}), {\bf X}_y({\bf x}), {\bf X}_z({\bf x}) \right) \,; \ \ \ S \longrightarrow K \times K \times K
\]
と，つぎの「f の \( {\bf X}- \)微分係数」から論を始める：
\[
f^{'}({\bf x}) \cdot {\bf X}({\bf x}) \\
=
\frac{\partial f({\bf x})}{\partial x} {\bf X}_x({\bf x}) \,+\,
\frac{\partial f({\bf x})}{\partial y} {\bf X}_y({\bf x}) \,+\,
\frac{\partial f({\bf x})}{\partial z} {\bf X}_z({\bf x}) \\
=
\left( \frac{\partial f({\bf x})}{\partial x} ,\,
\frac{\partial f({\bf x})}{\partial y} ,\,
\frac{\partial f({\bf x})}{\partial z} \right)
\left(
\begin{array}{c}
{\bf X}_x({\bf x}) \\
{\bf X}_y({\bf x}) \\
{\bf X}_z({\bf x}) \\
\end{array}
\right)
\]
このとき，\( {\bf X}- \) のことを「方向ベクトル」と呼ぶ。
Ｓの特徴づけは，「方向ベクトル場」である
|