Up 「力場」の導入 作成: 2017-12-19
更新: 2017-12-23


    ここまでの設定では,「仕事」の内容を不問にしてきた。
    これより,「仕事」の内容を定めていくとする。


    仕事は,力と移動の内積で定義される。
    ここまでの設定のうちに,「力」の契機となるものは無い。
    実際,「力」は,新たに加えねばならない。

    即ち,空間 \( S \) は,つぎの意味で,点 \( \bf x \) ごとに \( \dot{力}\, {\bf X}(\bf x) \) が立っているところであるとする:
      「\( \bf x \) に置かれた質量は,その大きさに比例した力を受ける。
       その力の大きさは,単位質量当たり \( {\bf X}(\bf x) \) である。」
    \( {\bf X}(\bf x) \) は「単位質量当たり」の大きさなので,「力率」ということになる。
    したがって,「点 \( \bf x \) ごとに \( \dot{力}\, {\bf X}(\bf x) \) が立っている」は,厳密には「点 \( \bf x \) ごとに\( \dot{力}\dot{率}\, {\bf X}(\bf x) \) が立っている」である。


    質量全体と力全体をそれぞれベクトル空間 \( M,\, F \) と見なす。
    このとき,力率 \( {\bf X}(\bf x) \) は,\( Hom(M,\,F) \) の元である。
    こうして,\( \bf X \) は,つぎの関数である:
      \[ {\bf X} : S \longrightarrow Hom(M,\,F) \]
    ここで,\( Hom(M,\,F) \) をテンソルと捉えると,\( S \) は \( \bf X \) を以てテンソル場になる。
    このテンソル場を,「力テンソル場」ないし「力場」と呼ぶ。

      ここでの「力場・質量」は,「重力場・質量」「電場・電荷」「磁場・磁荷」がこれのイメージ/具体例となるものである。
      重力場は,そこに置かれた質点が,その質量に比例した力を受ける。
      電場 [磁場] は,そこに置かれた電荷 [磁荷] が,その大きさに比例した力を受ける。