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「力場」の導入

作成: 2017-12-19 更新: 2017-12-23

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ここまでの設定では，「仕事」の内容を不問にしてきた。 これより，「仕事」の内容を定めていくとする。 仕事は，力と移動の内積で定義される。 ここまでの設定のうちに，「力」の契機となるものは無い。 実際，「力」は，新たに加えねばならない。 即ち，空間 \( S \) は，つぎの意味で，点 \( \bf x \) ごとに \( \dot{力}\, {\bf X}(\bf x) \) が立っているところであるとする： 「\( \bf x \) に置かれた質量は，その大きさに比例した力を受ける。 　その力の大きさは，単位質量当たり \( {\bf X}(\bf x) \) である。」 \( {\bf X}(\bf x) \) は「単位質量当たり」の大きさなので，「力率」ということになる。 したがって，「点 \( \bf x \) ごとに \( \dot{力}\, {\bf X}(\bf x) \) が立っている」は，厳密には「点 \( \bf x \) ごとに\( \dot{力}\dot{率}\, {\bf X}(\bf x) \) が立っている」である。 質量全体と力全体をそれぞれベクトル空間 \( M,\, F \) と見なす。 このとき，力率 \( {\bf X}(\bf x) \) は，\( Hom(M,\,F) \) の元である。 こうして，\( \bf X \) は，つぎの関数である： \[ {\bf X} : S \longrightarrow Hom(M,\,F) \] ここで，\( Hom(M,\,F) \) をテンソルと捉えると，\( S \) は \( \bf X \) を以てテンソル場になる。 このテンソル場を，「力テンソル場」ないし「力場」と呼ぶ。 ここでの「力場・質量」は，「重力場・質量」「電場・電荷」「磁場・磁荷」がこれのイメージ/具体例となるものである。 重力場は，そこに置かれた質点が，その質量に比例した力を受ける。 電場 [磁場] は，そこに置かれた電荷 [磁荷] が，その大きさに比例した力を受ける。