Up 「座標変換」のテンソル 作成: 2017-12-22
更新: 2017-12-22


    座標変換
      \[ \left( \begin{array}{c} x^1 \\ \vdots \\ x^n \\ \end{array} \right) \ \longrightarrow \ \left( \begin{array}{c} {x^{'}}^1 \\ \vdots \\ {x^{'}}^n \\ \end{array} \right) \]
    は,行列 (「座標変換の表現行列」) の作用として記述できる:
      \[ \left( \begin{array}{c} x^1 \\ \vdots \\ x^n \\ \end{array} \right) = A\, \left( \begin{array}{c} {x^{'}}^1 \\ \vdots \\ {x^{'}}^n \\ \end{array} \right) \ \ \ \ \ \ A = \left( \begin{array}{ccc} a^1_1 & \cdots & a^1_n \\ & \cdots & \\ a^n_1 & \cdots & a^n_n \\ \end{array} \right) \\ \left( \begin{array}{c} {x^{'}}^1 \\ \vdots \\ {x^{'}}^n \\ \end{array} \right) = B\, \left( \begin{array}{c} x^1 \\ \vdots \\ x^n \\ \end{array} \right) \ \ \ \ \ \ B = \left( \begin{array}{ccc} b^1_1 & \cdots & b^1_n \\ & \cdots & \\ b^n_1 & \cdots &b^n_n \\ \end{array} \right) \]

    ここで,行列 \( A,\, B \) は,つぎの基底変換行列がもとである:
      座標 \( x^i, {x^{'}}^i \) がそれぞれ基底 \( ( {\bf e}_1, \cdots , {\bf e}_n ),\, ( {{\bf e}^{'}}_1, \cdots , {{\bf e}^{'}}_n ) \) に対するものであるとき, \[ ( {{\bf e}^{'}}_1, \cdots , {{\bf e}^{'}}_n ) = ( {\bf e}_1, \cdots , {\bf e}_n ) \, A \] この意味は, \[ {\bf e}_i \longrightarrow {{\bf e}^{'}}_i = a^i_1\,{\bf e}_1 \,+\, \cdots a^i_n\,{\bf e}_n \] そしてこのとき \[ ( {\bf e}_1, \cdots , {\bf e}_n ) = ( {{\bf e}^{'}}_1, \cdots , {{\bf e}^{'}}_n ) \, A^{-1} \] であるが, \( B \) はこの \( A^{-1} \) である。


    この座標変換の特徴は,基底変換が線形だということである。
    そこで,「一般の座標変換だと,どのような形式になるか」が,問題になる。

    上の座標変換の式を展開すると:
      \[ x^i = \sum_j a^i_j {x^{'}}^j \ \ \ \ \ \ {x^{'}}^i = \sum_j b^i_j x^j \\ \]
    これより
      \[ a^i_j = \frac{\partial x^i}{\partial {x^{'}}^j} \ \ \ \ \ \ b^i_j = \frac{\partial {x^{'}}^i}{\partial x^j} \]
    よって, \( A,\, B \) がつぎの行列となった:
      \[ A = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial x^1}{\partial {x^{'}}^1} & \cdots & \frac{\partial x^1}{\partial {x^{'}}^n} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial x^n}{\partial {x^{'}}^1} & \cdots & \frac{\partial x^n}{\partial {x^{'}}^n} \\ \end{array} \right) \ \ \ \ \ \ B = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial {x^{'}}^1}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial {x^{'}}^1}{\partial x^n} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial {x^{'}}^n}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial {x^{'}}^n}{\partial x^n} \\ \end{array} \right) \]

    また,積 \( AB,\, BA \) を計算すると:
      \[ \left( \begin{array}{ccc} a^i_1 & \cdots & a^i_n \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} b^1_j \\ \vdots \\ b^n_j \\ \end{array} \right) = \sum_k a^i_k \, b^k_j \\ \left( \begin{array}{ccc} b^i_1 & \cdots & b^i_n \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a^1_j \\ \vdots \\ a^n_j \\ \end{array} \right) = \sum_k b^i_k \, a^k_j \\ a^i_k \, b^k_j = \frac{\partial x^i}{\partial {x^{'}}^k} \, \frac{\partial {x^{'}}^k}{\partial x^j} = \frac{dx^i}{dx^j} = \delta_{ij} \\ b^i_k \, a^k_j = \frac{\partial {x^{'}}^i}{\partial x^k} \, \frac{\partial x^k}{\partial {x^{'}}^j} = \frac{d{x^{'}}^i}{d{x^{'}}^j} = \delta_{ij} \]
    となって,行列 \(A,\, B \) が互いに逆行列であることが示される。


    偏微分を項とするこの座標変換の形式は,一般の座標変換──即ち,基底変換が線形であるとは限らない座標変換──に対して,通用するものである。


    以上,基底変換が線形である場合の座標変換の形式と,一般の座標変換の形式を示した。
    そして,この形式は,「テンソル」のことばで述べられるものになる。

    即ち,行列 \( A \)
      \[ \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial x^1}{\partial {x^{'}}^1} & \cdots & \frac{\partial x^1}{\partial {x^{'}}^n} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial x^n}{\partial {x^{'}}^1} & \cdots & \frac{\partial x^n}{\partial {x^{'}}^n} \\ \end{array} \right) \]
    は,つぎのテンソルである:
      \[ \sum_{i,j} \, a^i_j\, {\bf {e^{'}}}_j^* \otimes {\bf e}_i \ \ \ \ \ \ \ \ a^i_j = \frac{\partial x^i}{\partial {x^{'}}^j} \]
    行列 \( B = A^{-1}\)
      \[ \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial {x^{'}}^1}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial {x^{'}}^1}{\partial x^n} \\ & \cdots & \\ \frac{\partial {x^{'}}^n}{\partial x^1} & \cdots & \frac{\partial {x^{'}}^n}{\partial x^n} \\ \end{array} \right) \]
    は,つぎのテンソルである:
      \[ \sum_{i,j} \, b^i_j\, {\bf e}_j^* \otimes {\bf {e^{'}}}_i \ \ \ \ \ \ \ \ b^i_j = \frac{\partial {x^{'}}^i}{\partial x^j} \]

    そして,
      \[ A\, \left( \begin{array}{c} {x^{'}}^1 \\ \vdots \\ {x^{'}}^n \\ \end{array} \right) \\ B\, \left( \begin{array}{c} x^1 \\ \vdots \\ x^n \\ \end{array} \right) \]
    は,それぞれつぎのテンソルである:
      \[ \sum_{i,j} \left( \, a^i_j\, {\bf {e^{'}}}_j^* \otimes {\bf e}_i \right) \left( \, {x^{'}}^j\, {\bf {e^{'}}}_j \right) \\ \sum_{i,j} \left( \, b^i_j\, {\bf e}_j^* \otimes {\bf {e^{'}}}_i \right) \left( \, x^j\, {\bf e}_j \right) \]
    計算は,双対単位の縮約である。