\( V\) を \(n\) 次元線型空間とし，つぎを \( V\) の基底変換とする：
\[
( {\bf e'}_1, \cdots, {\bf e'}_n )
= ( {\bf e}_1, \cdots, {\bf e}_n ) \ A \\
( {\bf e}_1, \cdots, {\bf e}_n )
= ( {\bf e'}_1, \cdots, {\bf e'}_n ) \ B
\\ \\
\quad
A =
\left(
\begin{array}{ccc}
a_1^1 & \cdots & a_n^1 \\
& \cdots & \\
a_1^n & \cdots & a_n^n \\
\end{array}
\right)
\qquad
B =
\left(
\begin{array}{ccc}
b_1^1 & \cdots & b_n^1 \\
& \cdots & \\
b_1^n & \cdots & b_n^n \\
\end{array}
\right)
\]
このとき，つぎが成り立っている：
\({\bf x} \in V \) の，基底 \( ({\bf e}_i),\, ({\bf e'}_i) \) に対する座標を，それぞれ
\[
( {x}^1, \cdots, {x}^n ) \\
( {x'}^1, \cdots, {x'}^n )
\]
とする──この意味は，
\[
\begin{align*}
{\bf x}
&= x^1 {\bf e}_1 + \cdots + x^n {\bf e}_n \\
&= {x'}^1 {\bf e'}_1 + \cdots + {x'}^n {\bf e'}_n
\end{align*}
\]
このとき，つぎが成り立つ：
\[
\left(
\begin{array}{c}
x^1 \\
\vdots \\
x^n \\
\end{array}
\right)
=
A \
\left(
\begin{array}{c}
{x'}^1 \\
\vdots \\
{x'}^n \\
\end{array}
\right)
\\ \\
\left(
\begin{array}{c}
{x'}^1 \\
\vdots \\
{x'}^n \\
\end{array}
\right)
=
B \
\left(
\begin{array}{c}
x^1 \\
\vdots \\
x^n \\
\end{array}
\right)
\]
そしてこれを，「座標変換」と呼ぶわけである。
座標変換の形式は，「テンソル」のことばで述べられるものになる。
即ち，行列 \( A \)
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
a^1_1 & \cdots & a^1_n \\
& \cdots & \\
a^n_1 & \cdots & a^n_n \\
\end{array}
\right)
\]
は，つぎのテンソルである：
\[
\sum_{i,j} \, a^i_j\, {\bf {e^{'}}}_j^* \otimes {\bf e}_i
\]
行列 \( B = A^{-1}\)
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
b^1_1 & \cdots & b^1_n \\
& \cdots & \\
b^n_1 & \cdots &b^n_n \\
\end{array}
\right)
\]
は，つぎのテンソルである：
\[
\sum_{i,j} \, b^i_j\, {\bf e}_j^* \otimes {\bf {e^{'}}}_i
\]
そして，
\[
A\,
\left(
\begin{array}{c}
{x^{'}}^1 \\
\vdots \\
{x^{'}}^n \\
\end{array}
\right)
\\
B\,
\left(
\begin{array}{c}
x^1 \\
\vdots \\
x^n \\
\end{array}
\right)
\]
は，それぞれつぎのテンソルである：
\[
\sum_{i,j} \left( \, a^i_j\, {\bf {e^{'}}}_j^* \otimes {\bf e}_i \right) \left( \, {x^{'}}^j\, {\bf {e^{'}}}_j \right) \\
\sum_{i,j} \left( \, b^i_j\, {\bf e}_j^* \otimes {\bf {e^{'}}}_i \right) \left( \, x^j\, {\bf e}_j \right)
\]
計算は，双対単位の縮約である。
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