つぎのように措く：
| \( V\) | ： 体 \(K\) 上の \(n\) 次元線型空間 |
| \( {\bf e} = ( {\bf e}_1, \cdots, {\bf e}_n ) \) | ： \( V\) の直交基底 |
|
そして，\( T \,=\, (T_{ij}) \in T_{{\bf e},{\bf e}} \) に対し，これの「大きさ」をつぎのように定義する：
\[
|| T || = \sum_{i,j} (T_{ij} )^2
\]
これは「ベクトルの大きさ \( |{\bf v}|\)」の定義に倣ったものであるが， \( |{\bf v}|\) が直交変換に対し不変量であるように，\( || T || \) も直交変換に対する不変量となる。
これを示すために，つぎのように措く：
\( {\bf e'} = ( {\bf e'}_1, \cdots, {\bf e'}_n ) \)： \( V\) の直交基底
\({\bf x} \in V \)
基底 \( ({\bf e}_i) \) に対する座標が \( ( {x}^1, \cdots, {x}^n )\)
基底 \( ({\bf e'}_i) \) に対する座標が \( ( {x'}^1, \cdots, {x'}^n )\)
\( {\bf y} \in V \)
基底 \( ({\bf e}_i) \) に対する座標が \( ( {y}^1, \cdots, {y}^m )\)
基底 \( ({\bf e'}_i) \) に対する座標が \( ( {y'}^1, \cdots, {y'}^m )\)
\[
( {\bf e}_1, \cdots, {\bf e}_n )
= ( {\bf e'}_1, \cdots, {\bf e'}_n ) \ B
\\ \\
\quad
B =
\left(
\begin{array}{ccc}
b_1^1 & \cdots & b_n^1 \\
& \cdots & \\
b_1^n & \cdots & b_n^n \\
\end{array}
\right)
\]
このとき，
\[
T_{{\bf e},{\bf e}}({\bf x} \otimes {\bf y})\, =\,
\left(
\begin{array}{ccc}
x^1 y^1 & \cdots & x^1 y^n \\
& \cdots & \\
x^n y^1 & \cdots & x^n y^n \\
\end{array}
\right)
\\ \\
T_{{\bf e'},{\bf e'}}({\bf x} \otimes {\bf y})\, =\,
\left(
\begin{array}{ccc}
{x'}^1 {y'}^1 & \cdots & {x'}^1 {y'}^n \\
& \cdots & \\
{x'}^n {y'}^1 & \cdots & {x'}^n {y'}^n \\
\end{array}
\right)
\]
であり，かつ
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
{x'}^1 {y'}^1 & \cdots & {x'}^1 {y'}^n \\
& \cdots & \\
{x'}^n {y'}^1 & \cdots & {x'}^n {y'}^n \\
\end{array}
\right)
=
B\
\left(
\begin{array}{ccc}
{x}^1 {y}^1 & \cdots & {x}^1 {y}^n \\
& \cdots & \\
{x}^n {y}^1 & \cdots & {x}^n {y}^n \\
\end{array}
\right)
\ {}^t B
\]
そして
\[
B\
\left(
\begin{array}{ccc}
{x}^1 {y}^1 & \cdots & {x}^1 {y}^n \\
& \cdots & \\
{x}^n {y}^1 & \cdots & {x}^n {y}^n \\
\end{array}
\right)
\ {}^t B
\\ \\
=
\left(
\begin{array}{ccc}
b_1^1 & \cdots & b_n^1 \\
& \cdots & \\
b_1^n & \cdots & b_n^n \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
{x}^1 {y}^1 & \cdots & {x}^1 {y}^n \\
& \cdots & \\
{x}^n {y}^1 & \cdots & {x}^n {y}^n \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
b_1^1 & \cdots & b_1^n \\
& \cdots & \\
b_n^1 & \cdots & b_n^n \\
\end{array}
\right)
\\ \\
=
\left(
\begin{array}{ccc}
b_1^1 & \cdots & b_n^1 \\
& \cdots & \\
b_1^n & \cdots & b_n^n \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{ccc}
\sum_{k} {x}^1 {y}^k b^1_k & \cdots & \sum_{k} {x}^1 {y}^k b^n_k \\
& \cdots & \\
\sum_{k} {x}^n {y}^k b^1_k & \cdots & \sum_{k} {x}^n {y}^k b^n_k \\
\end{array}
\right)
\\ \\
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\sum_{l} b^1_l \sum_{k} {x}^l {y}^k b^1_k & \cdots & \sum_{l} b^1_l \sum_{k} {x}^1 {y}^k b^n_k \\
& \cdots & \\
\sum_{l} b^n_l \sum_{k} {x}^l {y}^k b^1_k & \cdots & \sum_{l} b^n_l \sum_{k} {x}^l {y}^k b^n_k \\
\end{array}
\right)
\\ \\
=
\left(
\begin{array}{ccc}
\sum_{l} \sum_{k} b^1_l b^1_k {x}^l {y}^k & \cdots & \sum_{l} \sum_{k} b^1_l b^n_k {x}^1 {y}^k \\
& \cdots & \\
\sum_{l} \sum_{k} b^n_l b^1_k {x}^l {y}^k & \cdots & \sum_{l} \sum_{k} b^n_l b^n_k {x}^l {y}^k \\
\end{array}
\right)
\]
よって，
\[
\qquad \sum_{i,j} ({x'}^i {y'}^j)^2
\\ \quad =
\sum_{i,j} \left( \sum_{l} \sum_{k} b^i_l b^j_k {x}^l {y}^k \right)^2
\\ \quad =
\sum_{i,j}
\left( \sum_{q} \sum_{p} b^i_q b^j_p {x}^q {y}^p \right)
\left( \sum_{l} \sum_{k} b^i_l b^j_k {x}^l {y}^k \right)
\\ \quad =
\sum_{i,j}
\sum_{q} \sum_{p} \sum_{l} \sum_{k} b^i_q b^j_p {x}^q {y}^p b^i_l b^j_k {x}^l {y}^k
\\ \quad =
\left(
\sum_{q} \sum_{l}
\left( \sum_{i} b^i_q b^i_l \right) {x}^q {x}^l
\right)
\left(
\sum_{p} \sum_{k}
\left( \sum_{j}b^j_p b^j_k \right) {y}^p {y}^k
\right)
\\ \quad =
\left(
\sum_{q} \sum_{l}
\delta_{ql} {x}^q {x}^l
\right)
\left(
\sum_{p} \sum_{k}
\delta_{pk} {y}^p {y}^k
\right)
\\ \quad =
\left( \sum_{l} {x}^l {x}^l \right)
\left( \sum_{k} {y}^k {y}^k \right)
\\ \quad =
\sum_{i,j} ({x}^i {y}^j)^2
\]
ここで
\[
\sum_{i} b^i_q b^i_l = \delta_{ql} \\
\sum_{j}b^j_p b^j_k = \delta_{pk}
\]
は，\( B \) が直交行列であるから。
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