Up テンソル「速さ×時間=距離」 作成: 2017-12-17
更新: 2017-12-18


    ここでいよいよ,テンソル「速さ×時間=距離」を取り上げる。

    既に,速さに対するテンソルの捉えをしている。
    即ち,時間と距離の単位を固定して── \( {\bf s} \) と \( {\bf m} \) とする──つぎのように捉える:
      \[ 速さ\,=\, {T_s}^m \,=\, K\,{\bf s}^* \otimes K\,{\bf m} \]
    計算「速さ×時間」では,これに時間が加わる。
    この括りを,やはりテンソルの形式でつぎのようにする:
      \[ 時間 \otimes 速さ = K\,{\bf s} \otimes (K\,{\bf s}^* \otimes K\,{\bf m}) = K\,{\bf s} \otimes K\,{\bf s}^* \otimes K\,{\bf m} \]
    文字「\(T\)」によるテンソル表記だと,つぎのようになる:
      \[ {T_s}^{sm} = K\,{\bf s} \otimes K\,{\bf s}^* \otimes K\,{\bf m} \]  (添字は,双対単位が下で,そうでないのが上)


    \({T_s}^{sm}\) は,実際に「速さ×時間」である。
    即ち,この要素の形式:
      \[ (x\, {\bf s}) \otimes (y\, {\bf s}^*) \otimes (z\, {\bf m}) \ \ \ \ (\, x,\, y,\, z \in K\,) \]
    に「速さ×時間」の数値──単位 \( {\bf s},\, {\bf s}^*,\, {\bf m}\) に対する数値──を代入すれば,計算が自動的に進むようになっている。

    例えば,「5秒で2mの速さでは, 3秒で何m」の場合だと:
      \[ (3\, {\bf s}) \otimes (5^{-1}\, {\bf s}^*) \otimes (2\, {\bf m}) \\ = {\bf s} \otimes {\bf s}^* \otimes ((3 \times 5^{-1} \times 2)\, {\bf m}) \\ = 1.2\, {\bf m} \]

    ここで,\({\bf s} \otimes {\bf s}^*\) の消去は,双対単位の効果── \( {\bf s}^*({\bf s}) = 1\) ──である。
    この消去を,「縮約」という。
    実際,テンソルの計算は,つぎの2つである:
    1. テンソルの複線型性の適用
    2. 双対関係にある2つの単位の縮約